绿色曲线的方程是y = x ² + 1。点 (2, 1) 距离曲线有多近？我们追求最短距离。

这是我在上一篇文章中提出的一个额外挑战。我决定，我太喜欢这个难题了，不能把它留在那里，所以我们就在这里。我也对数字做了一些调整。

尝试解决它，解决方案如下，后面还有一些额外的挑战。

首先定义一个函数，测量从 (2, 1) 到曲线上某个点的距离，该点的形式为 ( x , x ² + 1)。该距离是x的函数。我们称之为g ( x )。

通过画一个三角形，我们可以用勾股定理计算出g ( x )。三角形的边长为 (2 — x ) 和 (1 — ( x ² + 1))。

现在我们的目标是最小化这个函数。g ( x )的行为如下：

只要有可能，我们就会尽量避免使用平方根。平方根内的表达式是两个平方的和，因此始终为正。这意味着我们可以最小化g ( x )² 并得到相同的结果。

设G ( x )= g ( x )²。

为了找到G ( x )的最小值，我们取导数G '( x ) 并找到G '( x ) = 0 的位置，即G ( x )的驻点。

这个三次方程只有一个实数解，这很方便。无需处理多个最小值或任何最大值。

虽然确实存在三次公式，但要准确写出这个三次公式的实根并不值得。如果你好奇的话，可以看看这个公式：

截图来自WolframAlpha

我们只保留小数点后 10 位：x = 0.8351223485。

因此，(2, 1) 和y = x ² + 1之间的距离在此x处最小。现在让我们将其代入距离公式g ( x ) 以得到答案。

这就是从 (2, 1) 到y = x ² + 1 的距离。✅

x² +1 在最接近 (2, 1) 的点处的导数为 1.670244697，所以这是该点处曲线切线的斜率。连接该点到 (2, 1) 的直线的斜率为 -0.5987146685。这是x² +1 在最接近点处的导数的负倒数。

由于这两个梯度的乘积为 -1，我们知道这两条线是彼此垂直的：

看起来很有说服力，但我将把这个问题留给你来决定：

挑战 1：证明从一点到光滑曲线的最短线始终局部垂直于该曲线。

挑战 2 ：举一个点和曲线的例子，其中有两条最短的直线到该曲线。当尝试最小化G ( x )时，这如何呈现？无需进行计算。

挑战 3：从一个点到一个多项式有可能存在三条最短线吗？