我们都习惯了5 + 3 = 3 + 5这个事实。在数学中，我们称这个性质为可交换性（交换律）。但是为什么会这样呢？它总是成立的吗？我们把交换律看作是理所当然的，甚至不再去思考它。但我们应该思考，因为这并是理所当然的，也不一定总是成立的。

自然数与加法

首先，我们必须解释什么是自然数。它们被定义为0，1，2，3……，这个定义显得突兀了。我们将归纳地定义它们：

0是自然数，

如果n是一个自然数，那么n的后继者（suc）也是自然数。

然后，我们定义

1=suc 0，

2 = suc (suc 0)，

3 = suc (suc (suc 0))，

……

为什么这是一个好的定义？因为要证明一个命题对于每一个自然数成立，我们必须证明它对0成立，然后我们必须证明如果它对n成立，它对suc（n）也成立，这叫作自然数的归纳。

请注意，每次我们要用归纳法证明某件事，格式是：证明某件事对n成立，然后证明它对suc（n）也成立。

我们已经定义了自然数。接下来，我们定义加法。我们试图定义m + n是什么，使用m和n的定义。通过解构n，我们得到：

m + 0 = m，

m + (suc n) = suc (m + n)。

注意，这是一个递归函数。它调用自己，但使用较小的参数，这意味着调用最终会终止。让我们计算1+ 2：

1 + 2 = 1 + (suc 1) =

suc (1 + 1) = suc (1 + suc 0) =

suc(suc(1 + 0)) = suc(suc 1) = suc(suc(suc 0)) = 3。

我们想要证明m + n = n + m，如果让m不变，想要证明对于所有的n交换律成立，我们使用归纳法：

(1) 0+ n= n + 0，

(2) m + n = n + m⇒(suc m) + n= n+ (suc m)。

对于(1)，对n使用归纳法

0 + 0 = 0 + 0，

0 + n= n + 0 ⇒ 0 + (suc n) = suc (0 + n) = suc (n + 0) = suc n = (suc n) + 0。

现在我们有了0 + n = n+ 0对于所有的自然数n成立，接下来，我们证明对于所有的n，(suc m) + n = suc(m + n)成立。再次，使用归纳法，得到

(suc m) + 0 = (suc m) + 0，

(suc m) + n = suc (m + n) ⇒ (suc m) + (suc n) = suc ((suc m) + n) = suc(suc(m + n)) = suc(m + (suc n))。

利用上述结果，我们可以证明(2)为

m + n = n + m⇒(suc m) + n = suc(m + n) = suc(n + m) = n + (suc m)。

这是完全可以理解的，证明已经结束了。

那么对于整数，有理数和实数呢？这听起来可能令人惊讶，但所有这些数字都可以从自然数推导出来。我们可以把自然数上的加法的定义扩展到其他数上，但这里不会详细讨论这个。事实是，这些扩展保留了交换性。

无穷和

在这里，事情变得很奇怪。首先，我们将一个无限和定义为部分和的极限。

我们会证明这个和

可以得到∞和-∞的值，这取决于求和的顺序。如果我们取和的正部分和负部分，得到

如果对于任意数n，我们从上面任何一个和式中拿走前n项，就拿走了一个有限和，因此减去了一个有限数。因为它不影响无穷，得到

之前的和去掉前n项

这是非常重要的，这意味着无论我们从正负部分拿走多少项（但是是有限的），我们仍然可以通过将剩余的项加起来得到一个任意大的数。

现在我们来描述初始无穷求和的顺序。我们将迭代地对正部分和负部分的项求和，将它们加到当前值中，这将表示总的求和值。

取正数部分和，使结果大于1 + 1/2。

加上第一个负数部分的-1/2。因此，当前值大于1。

从总和的正部分中加上（有限多）剩余的项，使得当前值将大于2 + 1/4。

加上负数部分的第二项-1/4。当前值现在大于2。

从总和的正部分中加上（有限多）剩余的项，使当前值大于3 + 1/6。

加上负数部分的第三项-1/6。当前值现在大于3。

……

我们看到求和的值只会越来越大，所以它是无界的。这意味着部分和趋于无穷。

上述过程的Python代码

一个非常重要的发现是，这个过程最终会将初始和的所有项加起来（这意味着我们确实打乱了加法的顺序）。这取决于总是有足够多的正数来加任意大的数。然后我们可以继续从正数部分中选择项，直到它们足够大，不会受到负数部分中一个项的添加影响。

和的值，按照我们写的顺序，是log(2)。

结论

我们可以看到，改变项的顺序可以影响无穷和的值。这些微妙的矛盾使数学变得有趣。我们不断地得到一些非直觉的结果，这让我们不得不重新审视自己的直觉。