你可能从未听说过“泰森多边形（Voronoi diagrams）”，但你早就见过它。
从龙眼的果肉纹路，到蜜蜂的蜂巢构造，从北京奥运会水立方的幕墙设计，到大数据时代的K-means聚类背后，每一块细胞、每一片动物斑纹、每一次点云分区，都是它的影子。甚至你的手机信号覆盖范围背后，也藏着它精确到小数点后六位的控制边界。
泰森多边形，本质上就是一套基于距离关系的分割系统。给定n个点，它就能把平面分成n个区域，每个区域包含所有离该点最近的点。这种分法听起来很平常，数学上却有一组非常惊人的性质，比如，每条边恰好处于两个种子点的中垂线位置上；每个分区天然就是“最近邻域”的定义空间；而所有的边界，恰好组成了1-NN分类问题的决策边界。
你如果从没见过泰森多边形的图像，想象一堆随机散布的点，每个点像气泡一样从中心开始扩张，遇到别的气泡就停止。最后形成的，就是这张图。没有重叠，没有空隙，每个细胞都“恰好”填满了空间。极致效率的几何表达。
这种几何分区方式，其实是自然界的底层法则之一。
长颈鹿的斑纹不是画上去的，是黑色素细胞从胚胎中均匀扩张的结果，细胞扩张时以泰森方式碰撞、止步、成形。洋葱表皮、筋膜肌肉、玉米切面、蜂巢构造、蜻蜓翅膀，都是同一个公式：多个增长点在均匀速率下同步扩展，空间的极限分布模式就是泰森多边形。
生物没有学过数学，但生物学会了进化。效率和分布的几何形式，藏在基因和物理的双重规则里。
建筑师们早就注意到了这种结构的“自然感”。北京奥运会水立方外观像气泡，其实幕墙就是参考了三维泰森多边形图形。光线从“细胞”边界散射，夜晚蓝光透过，效果就像液体中漂浮的气泡群。这不是随机设计，这是精密计算之后的“有机构造感”。
早在八百年前，中国宋代的瓷器工匠就无意中“玩”出了类似图形。哥窑、官窑的开片釉裂，从本质上讲，就是材料冷却收缩过程中形成的“层级裂缝”，裂缝之间的分布接近泰森形式。陶瓷匠人当然没听说过泰森，但他们用经验“模拟”出一种随机又对称的裂纹网格，美得惊人。今天你去景德镇找一件仿宋开片瓷，大概率就是在仿自然裂缝生成的泰森结构。
说回数学本体。
泰森多边形的背后，是最基础的“距离函数”。最常用的是欧几里得距离：两点之间最短路径。但你若改用曼哈顿距离（沿城市街区移动的距离），图形立刻变方块感十足，像纽约地图。不同的距离函数，就决定了不同的分区形状。
从应用层面来说，这不只是视觉艺术的选择，而是算法模型的底层逻辑。在分类问题中，1-NN算法的边界，就由泰森图决定。换句话说，只要你用“最近点”来分类样本，泰森多边形已经在幕后默默干活。
这时候另一个巨兽出现了：Delaunay三角剖分。
这是泰森多边形的对偶结构。你把泰森中每个相邻细胞的“种子点”连起来，得到的是一堆三角形。Delaunay三角形有个神奇特性：所有三角形的外接圆都不包含图中任何其他点。换句话说，每个三角形是“最干净的”连接。
工程领域里，Delaunay常用于三维建模、地形分析、有限元计算。因为这种三角剖分能避免细长、锐角三角形，计算更稳定、网格更规整、误差更小。
如果你用过blender或者unity这种建模工具，它背后的网格生成算法，基本都离不开Delaunay。而且，一旦三角剖分构建好了，泰森图的边界也就随手可得——三角形边的中垂线相交，就是泰森多边形的节点。
这还没完。
想让泰森图更均匀、更美？用Lloyd算法。算法原理很简单：1）生成泰森多边形；2）找到每个多边形的质心；3）用这些质心当新的点，再来一轮。重复这个过程几十次，所有的点会自动趋于“等间距”分布，泰森多边形也趋近六边形。六边形是平面内单位边长图形中“面积/周长比”最优的形状，数学上叫“蜂巢猜想”，从古希腊算起，到2000年才被正式证明。
