伟大！法国天才数学家，发布了一项关于“双曲几何”的突破性成果

2017年，玛丽亚姆·米尔扎哈尼因乳腺癌去世，年仅40岁。她是历史上第一位获得菲尔兹奖的女性数学家，在超曲面和双曲几何领域开辟了一片新的疆域。但她的研究才刚刚展开，就被病魔无情打断。

她没能完成的工作，如今被人捡了起来。

2025年3月，法国数学家纳利尼·阿南萨拉曼和英国数学家劳拉·蒙克发布了一项突破性成果，证明了随机选择的双曲面几乎总是具有最大的谱间隙（spectral gap）。这项结果不仅巩固了米尔扎哈尼的理论体系，还让数学家们对双曲几何的理解上了一个新台阶。

这个问题，米尔扎哈尼生前就想解决。

双曲面是一种反直觉的几何结构，在其中，平行线不是保持恒定距离，而是彼此远离。更复杂的是，它们无法在三维空间中完全封闭，像拼图一样，局部可以拼合，但整体却永远无法在我们的宇宙中完整呈现。

要研究这样的结构，就得找到方法量化它的特征。

米尔扎哈尼的策略是研究测地线（geodesic），即表面上最短的封闭路径。她在博士论文中给出了一个公式，可以估算任意双曲面上测地线的数量。这不仅为数学家提供了一种新的计数方式，还帮助她证明了一个弦理论中的重要猜想，即维滕猜想（Witten’s Conjecture）。简单来说，它预测了一个数学对象（莫德维空间上的某种结构）和某种积分公式之间的关系。

但她没有停下，而是想走得更远——她希望知道，典型的双曲面到底长什么样。可惜，她没来得及完成这项工作。

这正是阿南萨拉曼和蒙克接下来的研究方向。

他们的目标是计算一个双曲面的谱间隙。直白地说，谱间隙衡量的是一个表面的“连通性”——数值越大，表面就越均匀，任意一点之间的路径就越丰富。问题在于，以往数学家构造出的双曲面大多只有较小的谱间隙，而理论上最优的值是 1/4。数学家一直怀疑，这样的“双曲极端值”应该是常见的，但苦于无法证明。

米尔扎哈尼的测地线计数公式，成为了关键。但有个问题——这个公式漏掉了某些更复杂的测地线，比如那些绕着多个孔缠绕的路径。所以，她留下的是一个未完成的工具。

蒙克从2018年博士入学起，就开始填补这个缺口。她的第一步是重新梳理米尔扎哈尼的证明，把那些没有详细展开的步骤补充完整。她逐步改进计数方法，最终在2021年找到了计算所有测地线的方法。这为计算谱间隙铺平了道路。

但事情没那么简单。

她们遇到了一个棘手的问题——某些特定双曲面上的测地线会像毛线团一样缠绕在一起，大量涌现。这些“顽固曲线”使得计数结果偏离预期，无法达到 1/4。

两人卡住了。

就在此时，另两支研究团队独立证明了一个较弱的结果：谱间隙至少是 3/16。虽然这个数值比 1/4 小，但已是多年未有的突破。蒙克有点动摇，怀疑自己是否应该先发布一个类似的结果。但阿南萨拉曼没有，她只想冲到 1/4。

她想到了一个20年前的数学定理。2001年，数学家乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）证明了，在随机图（graph）中，绝大多数都会有最大的谱间隙。而这个问题和她们的双曲面研究有某种相似性。

她重读弗里德曼的论文，终于找到关键——他设法剔除了那些破坏计算的路径，从而得到了最优结果。2022年，她们请弗里德曼来讲解。他的证明极其复杂，但核心思想可以被移植到双曲几何。

两人立刻调整思路，尝试引入这种方法。2023年，她们首先证明了一个 2/9 的谱间隙结果。这虽然还不是终点，但已经比 3/16 更进一步。

然后，她们继续改进方法。2024年，她们写下了完整的证明框架。2025年2月，她们最终完成论文，证明了一个惊人的结果：随机双曲面的谱间隙几乎总是 1/4。

这意味着数学家几十年来的直觉是正确的——那些最理想、最极端的双曲面，并不是例外，而是常态。一切，回到了米尔扎哈尼最初的问题：典型的双曲面是什么样的？

答案终于揭晓。

但数学的故事远未结束。她们的工作不仅填补了双曲几何的空白，还可能影响数论、动力系统，甚至物理学中的相关研究。接下来，数学家们可能会利用这套工具，去探索更多无法直观想象的几何世界。

但她们心里都清楚，这个结果，本该由米尔扎哈尼亲自见证。她没能等到这一天。但她留下的数学，仍在向前推进。