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本篇预计阅读时长7min，难度 🌟🌟🌟
大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第19篇。
数学不仅是一门科学，更是一种艺术。
它通过简单的概念揭示了深奥的真理。今天，我带大家一起了解下几个著名的数学定理和悖论，包括Brouwer不动点定理、罗素悖论、连续统假设、停机问题以及芝诺的阿基里斯与乌龟悖论。
注意，本篇大家只做了解即可，无需涉入很深。
其实。了解这些概念不仅展示了数学的奇妙之处，还引发了对逻辑、无穷大和计算能力的深刻思考。
废话不多，我们开始～
01 Brouwer不动点定理
让我们先从一个简单的日常例子开始。
你知道吗？当你拿起一杯牛奶，用勺子随意搅拌，无论你如何搅动，总会有至少一个分子保持在原来的位置。
这就是Brouwer不动点定理的一个生动例子。
Brouwer不动点定理指出，任何从平面圆到其自身的连续函数必须至少有一个固定点。
也就是说，如下图所示，假设你有一个圆盘，可以把它想象成一张橡皮膜，然后你在上面做一个变形，但这个变形是连续的，比如拉伸或旋转。
无论你怎么变形这个圆盘，总有至少一个点的位置是没有变的，而这个点就是不动点。
数学方式来表述，就是如果你有一个连续函数f，它将一个紧致盘（在二维欧几里得空间中，闭合且有界的圆盘）映射到自身，那么一定存在一个点
x 使得f(x)=x。
这个点 x 就被称为该函数的一个不动点，现在应该很清楚了吧！
为了更好地理解这一现象，我们还可以使用地图来说明。
拿出两张完全相同的地图，把其中一张揉成一个球，放在平铺的第二张地图上。
在揉成球的地图上，总会有至少一个点直接位于平铺地图上对应的点的上方。
从数学角度看，连续函数是一种输入微小变化会导致输出微小变化的函数。换句话说，输入值的小变化不会导致输出值的突变。
Brouwer不动点定理的应用不仅限于简单的物理示例。
它在经济学、工程学和计算机科学中也有广泛应用。例如，在经济学中，这一定理可以用来证明市场均衡的存在性。
02 罗素悖论
接下来，我们来看一个有趣的逻辑悖论——罗素悖论。
假设在一个小镇里，有一个理发师，他给每一个不刮胡子的人刮胡子。那么问题来了：谁给理发师刮胡子？
如果理发师自己刮胡子，那么他就是在给一个自己刮胡子的人刮胡子，这违背了他自己的规则。
如果理发师不刮自己的胡子，那么他就是一个不刮自己胡子的人，所以他应该刮胡子吗？
这种自相矛盾的情况揭示了集合论中的一个重大问题。
罗素悖论指出，如果我们假设存在一个集合R包含所有不包含自己的集合，那么R是否包含自己会导致矛盾。
罗素悖论引发了对集合论的重新评估，最终导致了一致的公理系统的形成，这些系统对集合的形成施加了限制。
德国数学家Ernst Zermelo在1908年提出了第一个公理化系统，后来由以色列数学家Abraham Adolf Fraenkel改进。
这个悖论比较深奥，我们先点到为止，未来再详谈！
03 连续统假设
我们继续探讨另一个令人着迷的数学概念——连续统假设。
想象你是一家拥有无限多个房间的酒店的经理，每个房间都有一个客人。
即使所有的房间都被占用了，酒店仍然可以容纳无限多的新客人，只要新客人的数量与自然数的数量相同。
这个思想实验由数学家大卫·希尔伯特在1924年的讲座中提出，建立在康托对无限数研究的基础上。
希尔伯特通过这个实验表明，不是所有的无限都是相同大小的。
如上图所示，数学家用映射的概念来定义两个无限集合是否相等。
如果两个集合之间可以建立一个双射，即每个集合中的元素一一对应，那么这两个集合的大小相等。
整数集和自然数集之间就可以建立这样的双射，因此它们具有相同的基数，即可数无限。
然而，实数集与自然数集之间不能建立双射，因此实数集的大小（基数）比自然数集大。
这种对不同大小的无限集的研究提出了连续统假设，但至今这一假设仍未得到证实。
04 停机问题
让我们探讨一个与计算机科学密切相关的问题——停机问题。
def output(text):while True:print(text)output("Hello, world!")
请看上面这个程序，您能不能肯定它是否将停止运行或永远持续运行吗？
停机问题问的是，给定一个算法和一个输入，是否可以确定该算法最终会停止运行还是会进入无限循环？
阿兰·图灵在1936年发表的一篇论文中证明，即使是一台拥有无限内存和处理能力的计算机，也无法通过一个通用的算法来确定每个给定的算法/输入对是否会停止运行。
图灵通过一个自我参照的论证证明了这一点。
假设存在一个函数halt()，它接受两个参数——算法A和输入I，并返回True（算法最终停止）或False（算法进入无限循环）。
图灵设置了另一个函数return()，它调用halt()并根据halt()的结果进入不同的状态，从而导致矛盾。
这个悖论表明，存在一些问题，即使我们拥有无限的计算资源，也无法解决。
这些问题对计算能力设定了限制，揭示了计算理论中的一些深刻真理。
05 阿基里斯与乌龟
最后，让我们来看一个古老而有趣的哲学悖论——阿基里斯与乌龟。
5世纪希腊哲学家埃利亚的芝诺提出了这样一个情景：想象士兵阿基里斯和乌龟之间进行赛跑，乌龟在比赛开始时领先。
为了追上并超过乌龟，阿基里斯必须首先到达乌龟的起点。然而，此时乌龟已经向前移动了一段距离。
阿基里斯再次必须走完乌龟走过的路程，但每次他到达乌龟曾经到过的地方，乌龟又前进了一点。
按照芝诺的逻辑，虽然阿基里斯每次所需追赶的距离变得越来越小，但这些距离有无限多，因此阿基里斯需要无限多的时间才能追上乌龟。
这一悖论展示了如何通过对无穷小和无穷大的思考来挑战我们的直觉。
结语
这些数学定理和悖论不仅展示了数学的深奥之处，也引发了对逻辑、无穷大和计算能力的深刻思考。
从Brouwer不动点定理的固定点，到罗素悖论的集合论矛盾，再到连续统假设对不同大小的无限集的探讨，停机问题对计算能力的限制，以及芝诺的阿基里斯与乌龟悖论中的无穷递归，每一个都揭示了数学的独特魅力。
希望通过这些探讨，能让你感受到数学之美，并激发你对数学的进一步兴趣和研究。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，数学总能带给我们新的视角和深刻的理解。
罗二侠
第五个就是逻辑陷阱，完全不成立。第一个也是胡扯，我一通乱搅，你能有什么点是不动的？或者这样，把牛奶杯分为一个个固定大小的小格，我拿一把方形勺子，保证每个格子都被搅到，你觉的如何[得瑟]。
故事太无聊
很多悖论其实都是因为假设的前提产生的，所以根本原因是数学还需要进步和完善
息灭贪瞋痴
浅说是不懂极则反，深说是不懂佛法四句：是，非，亦是亦非，非是非非。受非此即彼的所谓逻辑的限制，悖论无处不在，然后不断打补丁自圆其说还自以为是[捂脸哭]
用户15xxx72
小明第一天早上八点去爬山，晚上六点到达山顶，在山上睡了一晚。第二天早上八点沿原路返回，刚好六点回到出发点。那么小明必定在同一个时刻（如下午一点）经过了同一个地点。
高大树
第一个，不动点错的地方在于用理想方程解释实际物理，忽视了物理结构的运动常恒性。相当于测准原理，理论上一个数字小数点后面可以很精准，实际上测量原子层面上就测不准了（原子电子运动会变大小。）
看不见的风景
最后一个没办法成立啊，数学题经常做的一道题，A先出发，B比他晚出发，速度比他快，问最上的时间或者路程
马达
我英语很好，怎么会看不懂呢。
六月
不动点那个，你先证明不搅拌之前有一个分子不会动，不会动证明处于绝对零度[点踩]
向钱看
罗素悖论很好解决呀，理发师是职业他本人是人，当他是理发师的时候就没有他这个人了，当他是一个人的时候，镇上就没有理发师了。
用户15xxx42 回复 01-27 12:49
有没有可能理发师是女的[得瑟][得瑟][得瑟]
信任自然可求真
❌质能方程是一个鬼把戏！！！———能量的具体内涵是动能和势能，是物理公理规定的物理概念。物质质量是其不变的内在本质，能量(动能和势能)都是物质相互作用和相对运动变化的度量(质量不变)，是变化现象。能量不是物质的本质，咋能与孤立质量等效？？？场无质量居然有能量？………数学(包括逻辑)都是基于物理公理的演绎，超越物理公理的数学能量理解当然是虚幻(1+1=2是自然哲学/物理公理，牛顿定义自然哲学公理作为数学原理)。………🍎🍎物质的本质是带电质量体，物质不灭，电荷守恒，电磁力与万有引力统一于物质的不变本质。能量，力，场，波等宇宙一切自然现象，都是物质/粒子相互作用相对运动的变化现象，变化现象当本质(不变现象)是思维错乱丧心病狂。号称物质是波/波是物质/物质是能量，都是搞骗。质能等效是脱离基本公理的数学虚幻，欺师灭祖&蔑视自然，祸害基本概念和认知方法。———有人知道悖论斯坦的狗屁能量内涵是啥吗？？？狗屎核弹方程是如何应用的？？？………有趣的是木星象太阳一样自发光，它们的大气也相似。木星是裂变发光还是聚变发光？？木星大气中的氦和氢有没有可能是裂变反应释放的？？？
charliewaffles
第一个我不能理解，有高手科普一下吗？
用户18xxx76 回复 02-05 11:37
不是这样的，所有的分子无时无刻都在做不规则运动，不存在一直在原点的分子
NiGONiGO 回复 用户18xxx76 02-05 11:54
你走错片场了！这是数学的不动点，不是布朗运动。就如同你头上一定至少有一个旋一样。
披荆斩棘
不动点定理类似于身在棋盘终是棋子，方法1：跳出去，参照不在三界中跳出五行外 方法2：砸棋盘，参照盘古开天辟地 简单来说第一种方法把牛奶倒在另外一个杯子里，第二种方法就是直接把这个杯子砸了[得瑟][得瑟]
披荆斩棘
我们所处的世界里时间是一直前进的，有最小的时间单位，不能一直分割下去，那么设最小的时间单位是1，只要过了1就有可能超过乌龟，只有你设定一段时间是静止的，那在这个时间段里才有可能无限分下去，但这并不是我们所处的世界，如果你能和那个可以让那个时间静止的世界交流，那你就让他们的科学家伤脑筋吧[得瑟][得瑟]
缘来的我 回复 01-25 15:16
我也觉得乌龟那个说不通 总结下来就是：人追上乌龟之前 永远追不上 。前提是追上之前 当然是追不上了 说的都是废话
loving nothing
罗素可以说给每个不刮胡子的人刮胡子，但也可以给每个刮胡子的人刮胡子。他自己给自己刮胡子就不是悖论了。
Shooting Quasar
芝诺悖论就是放屁，定积分告诉你切的再细都可以组合成定值
御女神棍
数学分三种，菜市场的算数，造火箭的高数，网络的傻逼凑数。
只要你能吃苦那就会有吃不完的苦
就是杆精呗，假设的前提就已经不成立了
梵天 回复 只要你能吃苦那就会有吃不完的苦 01-02 15:05
那你不知道有多少人尝试过呢？理论是哪里来的呢？天上掉下来的吗？还不是有人去推理，去论证，你以为理论是出土的呀，永动机这三个字，之所以存在，就是有人走过这条路
只要你能吃苦那就会有吃不完的苦 回复 01-02 12:58
永动机还需要很多人检验？但凡学过物理都知道动能和损耗这两点是不可能实现的。永动机这个词就不应该存在，只能拿来骗补贴
你卖我买nnn
这就进了死胡同变成玄学。其实这几个所谓的问题，条件就不对，根本就是不存在的问题，还弄一堆数学函数吓唬人。
小孩哥
这里时间是什么
时觉空罗智能
矛盾之处，神灵关注[得瑟][得瑟]
精彩生活
第5个明显是错误的，算不得什么悖论
梵天 回复 12-30 17:08
[捂脸哭]
无边落木（川）
无事生非
买火柴的怪蜀黍
傅立叶级数……
念你南笙
别的就不说了，乌龟这个悖论倒是被砍一刀运用的炉火纯青。
天柱迷雾
准确点应是：他给且一定要给那些不给自己理发的人理发。
坏猫
这篇文章也太硬核了
韶华一世
感觉长脑子了[笑着哭]
脑瘫滚犊子
哈哈哈哈，什么都看不懂。
君临天下
“他给每一个不刮胡子的人刮胡子”，所以没人给他刮胡子，因为只有他一个理发师，他不是不刮胡子的人
午夜骑士 回复 12-31 10:36
她是女人
用户10xxx26
作者没啥脑子，连什么是悖论都不懂，就在这瞎逼逼
信任自然可求真
❌以太的小胆太小了！！！以太是波动学派的托辞遮羞布，悖论斯坦干脆厚脸皮直接骗，让波搞独立单干/和物质质量说拜拜，来个二象性指鹿为马，无源场也用上！再诠释诠释，高速低速搞区别对待，宏观微观弄成不同，质量尺寸时间都弄成可以变，能量搞成数学能量，，，还不行？绝对时空也不要了，相对运动搞成残废/让光绝对运动，相对时空更美妙可惜惯性系不同意。又不行了？？什么能难住骗子呢？换个假说继续骗，搞广义的，把空间也搞弯，轨道电子不干就不管它了，物质相互力力也弄点鬼，，，，用假说无中生有(🍎哈哈，我说有鬼谁能证无？)号称证明全称命题，脸厚怕啥？坚决把大胆假说革命进行彻底/1955/game over？
信任自然可求真
真理都是简单的，不证自明(不变现象)无法证明(全称命题/可证伪)，悖论诠释百年号称证明(全称命题)是骗。古希腊哲学对真理(科学知识)的理解——真理是不变的现象。水流现象千变万化是真实/不是真理。水往低处流现象不变，太阳东升西落现象不变，都是有用的真理/知识/知道。物质不灭，能量守恒，电荷守恒，1+1=2，绝对时空，相对速度，……都是不变的现象/真理。居然有人号称人人不知的空间弯曲是真理，还胡编人人可知的时间是虚幻！！都是缺德笑话。绝对时空可微可积，弯曲不均匀空间可积分吗？科学/哲学追求确定性(知道)是生存的必须，鼓吹不确定(不知道)❌是鬼迷心窍丧心病狂。科学是观测归纳不是假说证明不是解释稀奇。所有物质100%由带电质量体/粒子构成(不变现象/本质)，电子质子结合成中子，正负光子结合成中微子。……不显电性的中子，中微子，穿透材料/等离子体/微观电磁结构的能力强大，中微子极其微小，必然是穿透物质材料的惯性运动冠军。电子质子光子都带电，穿透力当然不行。——物体材料边缘亚原子尺度正负电场密集分布，带电光子电子受引力斥力作用，分裂成双缝干涉条纹，边缘衍射条纹，奇怪吗？？？