求二次函数的极值有着许多实际的应用，下面我们举几个例子。
例3.在墙旁的一块空地上，准备靠墙用36米长的篱笆围一块矩形的空地，种植蔬菜。问怎样围法，才能使所围成的园地的面积最大？这时面积是多少平方米？
分析 如图（图4.15)，折线 ABCD 表示篱笆，如果 AB = CD =x（米），那末 BC = AD =36-2x（米）．矩形的面积是
y = x (36-2x)（平方米）.
所以本题只要求函数 y = x (36-2x）的极大值．
【解】设篱笆的宽是x米，那么它的长就是36-2x米。
又设矩形的面积是 y 平方米，那么有
y = x (36-2x)
=36x-2x²
=-2(x²-18x)
=-2(x-9)²+162.
当 x =9的时候，二次函数 y =-2(x-9)²+162有极大值162.
这就是说，当篱笆的宽是9米时，可以围成最大面积的园地，这块园地的面积是162平方米。
例4. 窗的形状是矩形上面加一个半圆（图4.16),它的周长等于6米。要使窗能够透过最多的光线，它的尺寸应该怎样设计？
分析 这个问题就是要求出半圆的半径是多少米的时候，图形有最大的面积。因此要先求出图形的面积 y （平方米）和半圆的半径 x （米）间的函数关系。
【解】设半圆的半径是x米，那么半圆的长就是πx米，矩形的底BC就是2x米，而矩形的高AB和CD就是½(6-πx-2x)米。设图形的总面积是 y 平方米，那末
y=½(6-πx-2x)·2x+½πx²
就是
由此可知，当 X
的时候， y 有极大值。
所以尺寸应该这样来设计：半圆的半径是
R≈0.84米，或者说矩形的底边长是
BC≈1.68米．
温馨提示：二次函数的一般式y=ax²+bx+c可以通过配方法化为顶点式y=p(x-h)²+k，其中
顶点坐标为(h,k)。(详情请参阅本系列讲座之二次函数的图像那一期)
例5.快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出，各沿着箭头所指方向航行（图4.17)。快艇和轮船的速度分别是40公里／小时和16公里／小时。已知 AC =145公里，经过多少时间以后快艇和轮船之间的距离最短？（图中 AC ⊥ CD .)
图4.17
【解】设经过 t 小时以后，快艇的位置在 B ,轮船的位置在 D 。这时，
AB =40t公里，
CD =16t公里，
BC =(145-40t）公里．
根据勾股定理得
BD²=BC²+CD²=(145-40t)²+(16t)²
现在要使 BD 最短，就只须使上式右边
(145-40t)²+(16t)²
有最小的值．
令
y=(145-40t)²+(16t)²
=1856t²-11600t+21025,
这个二次函数在
t =11600/3712=3⅛
的时候有极小值。所以，快艇和轮船分别从 A 地和 C 地开出3又⅛小时的时候，它们间的距离最短．
习题4·5(2)1．已知一个正方形 ABCD 。现在从它的四个顶点 A , B , C , D 分别向 B , C , D , A 的方向截取相等的线段 AP , BQ , CR , DS 。连接PQ , QR , RS , SP ，成一个正方形 PQRS 。要使这个正方形的面积最小，这四条线段应该怎样截取？
2．在半径是20厘米的圆内作一个内接矩形。这个矩形的面积最大可以是多少平方厘米？
3．有长200米的篱笆，要把它围一块矩形园地，问围成的园地面积最大是多少？
*4．一个窗户的形状是矩形再加上一个等边三角形，如果窗户的周长是6米，
(1)求窗户面积 y （平方米）与等边三角形边长x（米）间的函数关系；
(2）怎样才能使透射进室内来的光线最充足？
下期预告：
§4.6利用二次函数的图象解一元二次方程
我们来观察二次函数 y =x²-2x-3=( x -1)²-4的图象
（图4.18).
这条抛物线交x轴于两点
A (-1,0), B (3,0).
这就是说，当 x =-1或者x=3的时候，函数 y=x²-2x-3的值是0.换句话说，也就是
x =-1和 x=3是方程
x²-2x-3=0
的两个根．
这个例子告诉我们，解一个一元二次方程......
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