Hey考研小伙伴们，是不是又在信号与系统的题海里遨游，寻找那一抹解题的曙光？别怕，今天良哥就来给你揭秘单位阶跃序列的DTFT，让你的考研之路更加顺畅！🌟

🔥单位阶跃序列：信号界的“基础款”

首先，单位阶跃序列u[n]，简单来说就是当n≥0时，序列值为1；当n<0时，序列值为0。它就像是信号世界里的“门槛”，标志着信号从0开始的一个新起点。🚪

🔍DTFT：频域里的“变身术”

接下来，我们要给单位阶跃序列来个“变身”——计算它的离散时间傅里叶变换（DTFT）。根据DTFT的定义，我们有：

U(ejω)=n=−∞∑∞u[n]e−jωn

但注意，由于单位阶跃序列在n<0时为0，所以求和实际上只从n=0开始：

U(ejω)=n=0∑∞1⋅e−jωn

这其实就是一个等比数列求和的问题，但在这里，每一项的系数都是1，且公比为e−jω。因此，DTFT的结果为：

U(ejω)=1−e−jω1(注意：这里需要用到极限的概念来处理分母为0的情况)

但通常，我们会将其转化为更常见的形式：

U(ejω)=ejω/2−e−jω/2ejω/2=21(jsin(ω/2)ejω/2+−jsin(ω/2)e−jω/2)=1−e−jω1+πk=−∞∑∞δ(ω−2πk)

注意：最后一个等式中的δ(ω−2πk)是冲激函数，表示单位阶跃序列的DTFT在频率轴上具有周期性冲激的特点，这是由于序列的周期性延拓造成的。

📈频谱特性分析

单位阶跃序列的DTFT在频谱上展现出独特的特性。它的幅度谱在ω=0处有一个明显的冲激（实际为无限大，但在物理实现中会受到限制），表明信号在此频率处含有大量能量。此外，由于周期性冲激的存在，单位阶跃序列的频谱是周期性的。

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