n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。
设有可逆矩阵U，使得
图1
从上面矩阵对角化的过程看到，如果将图1中等式的左边看作一个矩阵，则这个矩阵可以看作是在以a1,a2,......an为基的空间中的一个向量，而λi则是这个向量在各个坐标轴上的坐标值。
将以上概念进行拓广，把图1中左边的矩阵看作一个算子，并应用到Hilbert空间，得到：
这里的谱系EΘ是指一族投影算子，也就是相当于图1中的基a1,a2,......an,再把上图中的e^jΘ看作是λ就可以了。
比如，如果将谱系EΘ用三角函数系e^jwt替代，就得到傅里叶分解。
更进一步有：
由此看到，数学上的概念，基本上都是一步步延申和拓展，将同一个理论应用于不同的环境，从而得到不同的结论。
