很多孩子“望题却步”、直接放弃作答，还有不少孩子完全“摸不到头脑”、束手无策！这是一道初中数学竞赛题：求非特殊角的正弦值！如图一，

图一

在直角三角形ABC中，∠ACB=18°，求sin∠ACB。

注：初中没学正弦函数与余弦函数的和差化积公式，即便通过倍数关系、将非特殊角转化成特殊角，最终还是也无法利用“特殊角的正弦值和余弦值”来求非特殊角的正弦值！

此题主要考查：①三角形相似②角平分线定理③正弦的定义④一元二次方程求根公式！

解析一：三角形相似！

①令AC=1，AB=a，由正弦定理即知sin18°=a。

②将△ABC沿BC翻折，翻折后的三角形记为△DBC，则△CAD为等腰三角形，顶角ACD=36°，AD=2a。如图二

图二

③过点D作一等腰三角形ADE即AD=DE，如图三

图三

④显然，∠DEA=∠DAE=72°，故∠ADE=∠EDA=36°。因此△CDE也为等腰三角形，且CE=DE=AD=2a，进而AE=AC-CE=1-2a。

⑤显然，△ACD与△ADE相似，故AC/AD=AD/AE，也即4a²=1-2a。由一元二次方程求根公式，可得a=(√2-1)/4或(-√2-1)/4，后者舍弃。因此sin18°=(√2-1)/4。

解析二：角平分线定理！

步骤①②④同于解析一。

③'过点D作∠ADC的角平分线DE，与AC相交于点E，如图三。

⑤'由角平分线定理，可得AD/CD=AE/CE，也即4a²=1-2a。同于解析一步骤⑤可得sin18°=(√2-1)/4。

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