内容提要：本文从比例定理一谈起，介绍了两种证明方法。为寻求更普遍的证明，引出了极限的概念和与本文主题有关的两个极限定理。

借助这两条极限定理，完成了比例定理一的更普遍的证明。

最后提出了比例定理二和比例定理三。

在前面的例题中曾经用到一条定理：“圆周角拿所对弧的一半度它。”我们知道这一条定理是从“圆心角拿所对的弧来度它。”推广出来的；而这圆心角定理又是从下面的比例定理推得的：

比例定理一 在同圆或等圆中，两圆心角的比等于它们所对的弧的比。

这一条定理，在两弧是可通约量时，是极容易证明的。如下图所示，设

图中的m=5，n=4

在两个等圆O和O'中，两个圆心角AOB和A'O'B'各对一弧AB和A'B'。

求证：

证明 假定

那么

过各分点作半径。因两弧上的各等分都等于a，所以从定理“等弧对等圆心角”，知道∠AOB被分成m等分，∠A'O'B'被分成n等分，一共分得m+n个等角，于是得

比较(1)和(2)，就得

假使两弧是不可通约量，这定理能不能成立呢？我们再作如下的研究：

设弧AB和弧A'B'是不可通约量，那么弧AB:弧A'B'是一个无理数。

假定这无理数是√2=1.41421......，我们先取一位小数的近似值，就是令

弧AB:弧A'B'=1.4=14/10=14:10，那么，可以仿照前述可通约的情况，证明

∠AOB:A'O'B'=14:10，

(就是设前证的m=14，n=10)所以∠AOB:∠A'O'B'=弧AB:弧A'B'

再取两位小数的近似值，令

弧AB:弧A'B'=1.41=141/100=141:100

同理可得

∠AOB:A'O'B'=141:100，

取三位小数的近似值，令

弧AB:弧A'B'=1.414=1414/1000=1414:1000，

又得

∠AOB:∠A'O'B'=1414:1000，

......

从此都可得

∠AOB:∠A'O'B'=弧AB:弧A'B'

因而知道取√2的小数值到无穷位数时，仍得

∠AOB:∠A'O'B'=弧AB:弧A'B'

这一个证明是假定了一个具体数值——√2的，然而很明显，换了其它的任何无理数，都可以用同法证明，所以这一个证明也是普遍的。

但是，在严格的理论上说起来，这种利用特殊数值的证法，毕竟还是不十分完善的，所以应该寻求更普遍的证法。

要得一更普遍的证明，必须先明了“极限”的意义。怎样叫做极限呢？这里用一个简单的事例来加以说明。

假定北京和天津相距256里，有人从北京走到天津，第一天走全路程的一半，计128里；第二天走余下的一半，计64里；第三天再走余下的一半，计32里。照这样继续前进，每天都走余下路程的一半。从第四天起，每天所走的路顺次是16里，8里，4里，2里，1里，½里，¼里，⅛里......。这样，他离天津虽然一天比一天近，但是永远达不到天津；因为他同天津的距离即使短到千千万万分之一里，总还不能算作没有距离——这当然是假定天津是一个点，这个人也是一个点而说的。

北京和天津的距离256里是一定不变的，可以称作常量。这一个人同北京的距离在跟着时间逐渐增加，同天津的距离在跟着时间逐渐减少，都可以称做变量。他同北京的距离，虽在一天一天地增加，逐渐接近到256里，但总不会达到256里。换句话说，这一个距离同256里的差，虽可小到任何程度，但不能等于0。这256里叫做是这变量的极限。再说他同天津的距离，虽在一天一天地减少，逐渐接近到0，和0的差可以小到任何程度，但不能等于0，所以这0也可以称做是这第二变量的极限。

总而言之，一个变量x渐接近于常量a，而a和x的差可以小到任何程度，但不等于0，那么这一个常量a叫做是变量x的极限。

明了了极限的意义，还要知道一些极限的定理。极限的定理很多，要到高等数学里才能一一举出，并加以证明；这里只能举出和几何度量有关的两条，用实例来说明一下：

中国的古书“庄子”里面曾经说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是有一尺长的棒，第一天取掉½尺，第二天取掉¼尺(就是第一天剩下的½尺的一半)，第三天取掉⅛尺(第二天剩下的¼尺的一半)，......,这样一天一天地取下去，总有一段剩下来，永远取不完。这一种说法，就包含着极限的观念，同前举的实例一样。

从这一个例子，知道这样一天天取下去，取掉的棒渐近于1尺，但不能等于1尺，这1尺就是这变量的极限。

现在重新假定第一天只取¼尺，第二天只取⅛尺，第三天只取1/16尺，每天取的尺数都照庄子的话减半。这样一天天取下去，很明显的，取掉的棒一定渐近于½尺。这½尺是把原来的变量减半后的极限，恰等于原来的极限的一半。

这样，把变量减半，它的极限也减半。推广一下，把变量减成1/n，它的极限一定也减成1/n。

从这实例，我们得到

极限定理一 假定变量x渐近于它的极限a，那么x/n也渐近于它的极限a/n。

再把庄子的话更改一下，假定今天的上半天，在那1尺长的棒上取掉一半，下半天的上半段时间里又取掉余下的一半，还剩的¼天的上半段时间里又取掉余下的一半，......，照这样取法，整个一天可以取无穷的次数。我们从第一次的½天取½尺，第二次的¼天取¼尺，第三次的⅛天取⅛尺，......，知道

取过一次后，已过½天，共取½尺；取过二次后，已过½+¼天，共取½+¼尺；取过三次后，已过½+¼+⅛天，共取½+¼+⅛尺；......。

已过的天数(第一变量)和共取的尺数(第二变量)常相等。而且

已过的天数在继续增加，渐近于它的极限1天；

共取的尺数也在继续增加，渐近于它的极限1尺，这两个极限——1天和1尺——的数值也相等。

由此可得

极限定理二 假定两个变量常相等，而且各渐近于它们的极限，那么这两个极限也相等。

有了这样的两条极限定理，就可以得到“比例定理一”在不可通约的情况下的更普遍的证明。

证明 假定弧AB和弧A'B'是不可通约量，分弧A'B'成任意等分，取它的一个等分来量弧AB，那么一定量不尽，要剩下一段比这一等分小的弧CB。

联OC，因弧AC和弧A'B'是可通约量，所以根据前证可通约的情况，得

∠AOC:∠A'O'B'=弧AC:弧A'B'......(i)

假使把弧A'B'分成更多的等分，那么每一等分的弧减小，拿一个等分来量弧AB所得的余量弧CB也减小。照这样，把弧A'B'分成的等分数不断地增加，每一等分就不断地减小，从而弧CB可减小到任何程度。于是

弧AC渐近于它的极限弧AB，

∠AOC渐近于它的极限∠AOB根据极限定理一，知道

弧AC:弧A'B'渐近于它的极限弧AB:弧A'B'......(ii)，∠AOC:∠A'O'B'渐近于它的极限∠AOB:∠A'O'B'......(iii)。

从(i)，知道(iii)和(ii)中的两个变量∠AOC:∠A'O'B'和弧AC:弧A'B'常相等，所以根据极限定理二，它们的两个极限也相等，就是

这样证明以后，才能确定比例定理一必同时适合于可通约和不可通约的两种情况。

我们知道，把全圆周分成360个等分，每一等分的小弧叫做单位弧，就是1°。这单位弧所对的圆心角叫做单位角，也是1°。现在假定弧A'B'=1°，那么∠A'O'B'=1°。再假定弧AB=m°，根据上述的定理，得

∠AOB:1°=m°:1°

解得∠AOB=m°

既然m°的弧对m°的圆心角，我们就可以说：“圆心角和所对的弧在数量上相等”或“圆心角拿所对的弧来度它”。从此可以推广到一切“拿弧来度角”的定理，供给我们解关于求角或弧的各种计算题。

注意 所谓拿弧来度角，不过表示两者在数量上相等；就图形来说，一个是弧，一个是角，并不相等。又所谓单位弧，和单位长或单位角有很大的区别，我们只能用它来量同圆或等圆的弧，不能量不等圆的弧(两个不等圆的弧，即使是同一度数，但无法使其重合，实际的长度也不相等，这是很明显的)。

一切关于比例线段的定理(像相似三角形的对应边成比例等)，在计算上都极重要，它们完全是从下面的一条基本定理推广出来的：

比例定理二 平行于三角形一边的直线，分其它两边成比例线段。

一切关于求面积的定理，也都是解几何计算题的重要根据，它们是从下面的基本定理推广而得的：

比例定理三 假使两个矩形的底相等，那么它们的面积的比等于高的比。

这两条定理也同时适合于可通约和不可通约的两种情况，它们的证明和比例定理一完全类似。同学们能够把前一条定理的证明搞清楚了，那么在教科书里所举这两条定理的证明，一看就会明白，这里不再详叙。

各种平面几何计算题的内容，不外是求角、弧、线段和面积的几类，而计算这些图形所依据的定理，完全是从上举的三条比例定理推广而得，因此，这三条定理是解几何计算题的基础。

文章来源：

许莼舫先生著《几何定理和证题》《几何作图》《轨迹》《几何计算》四本初等几何学习参考书，在1966年前作为初中同学课外补充读物，曾经多次印行。现在中学数学教材已经改革，这四本书作为配合教学的读物，已不适用。但鉴于这四本书讲解初等几何基本知识很有参考价值，许多青年读者和中学教师也纷纷来信要求重版，由于作者已于1965年去世，不能再作修订，爰照旧版重印，合订一册，改用现在的书名：《许莼舫初等几何四种》。

中国青年出版社

1978年8月

本文是《几何计算》第一章基本知识的第五节。

the end.