这期，咱接着聊“未完待续”的滤波器。

接上回说，咱前面聊过的FIR和IIR，都还属于数字世界的产物。但同时，对IIR而言，咱也能明显闻到它身上的那股“模拟”味儿，甚至还有人叫它：“模拟滤波器”的数字化身。

这听上去，有合理的部分，也有玄乎的部分。合理在于，毕竟IIR的设计方法，基于”模拟滤波器“传函在”数字域“的“共形映射”。而玄乎则在于，理解起来，不够直观。大家也很难把IIR的“b0, b1, b2, a1, a2”这些系数，和运放、电阻和电容这些参数关联起来。

不要紧的，咱这期就先举例，直观地感受两个点：

1. 如何在模拟域，快速搭出一个”Biquad“滤波器（这个例子，在实战中也很酷，因为它的频点、Q值和增益，都可独立调整，互不影响）。

2. 如何通过滤波器需求spec（如截止频率、Q值、增益、带宽），得到对应IIR的系数。

一、Biquad滤波器是啥，有啥特点？

概念：

Biquad滤波器，又叫双二阶滤波器，它本质上是一种二阶IIR，有两个零点和两个极点。在时域和频域，分别长这样：

特点，大致如下：

第一、高效 & 易实现。它的设计和实现相对简单，还可通过级联，有效实现多阶滤波器，以处理更复杂的任务。而这些，并不需要增加太多硬件资源。在功耗和硬件成本上，具有相当的优势。

第二、稳定。提到IIR，大家最担心的就是它携带的“不稳定基因”，而Biquad滤波器的架构，在理论上是稳定的，不大会出现振荡等现象。因此，由它级联而成的多阶IIR系统，其稳定性也更好保证。

比如：如果要实现一个8阶IIR，你会怎么做？是一步到位，直接设计个单8阶IIR，还是用4个Biquad去级联？答案是，几乎99%的人，都会选后者。因为单8阶IIR，设计难度极大，且其稳定性很难保证。

第三、灵活 & 广泛适配。它可通过调整系数（且容易解耦），实现低通、高通、带通等多种滤波器。可谓是随心所欲，可广泛用于音频、图像等信号处理领域。

二、在数字域，如何设计Biquad滤波器

第一、确定设计目标。如滤波器类型、截止频率、增益和Q值等。

第二、确定模拟滤波器原型（如巴特沃斯、切比雪夫或椭圆滤波器等），做频率归一化，以适应数字采样频率。

第三、确定差分方程：将模拟滤波器的传函，转为差分方程。这一步，也是将“模拟连续时间”转为了“数字离散时间”，而后，根据滤波器类型和设计方法(如双线性变换)，得到差分方程的系数即可。

这三步，看上去云淡风轻，其实里面蕴藏了不少玄机。

举个例子：细心的朋友可能会发现，用“双线性变换”设计得到的IIR和模拟滤波器，频响并不完全一样。为什么呢？因为其数字频率fd和模拟频率fa的映射，是非线性的。

把它俩带入滤波器的传递函数，会得到一个非常复杂的算式，简化再简化之后，就得到了"b0, b1, b2, a1, a2"这些系数。

三、如何在模拟域，快速造出一个Biquad滤波器

再声明，咱的目的不是理论推导，而是“模拟电参数”对应到“IIR系数”的例子展示。公式推导那部分，咱就交给计算机（硅基）了，咱下面直接上工程结果：

上图就是个模拟域“IIR”的模样，这里的R，C等电参数，可直接反应到截至频率、带宽、Q值和增益，也可直观地对应到，其s域传递函数中的系数（可想而知，其s域传函中，有一堆R，C和频率相关的计算。）

经简化，以及经巧妙地取值后，就可得到下面的结果。

上图取自Roy在N年前的笔记，咱就用图片表示，免去编辑公式的麻烦了。

神不神奇？数字域和模拟域，就这样打通了。

但这还不够，咱再进一步，还能得到更多，以下常见经验果实，供你参考。

四、从滤波器要求，直接映射到IIR系数的计算示例。

这个例子是针对二阶IIR的，实战中也较为常见，下面纯干货。

取：fs为“采样频率”，fc为“截止频率”或“中心频率”，G为“增益”，BW为“带宽”，Q为“品质因数”, 以及以下计算等效式：

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

以下结论请收好：

以上仅为某架构滤波器类型的示例，其他架构也基本类似，不同类型滤波器，也只是算式和参数略有区别。

尾巴

本来这周在外休假，但考虑到“干货周记”的更新节奏，咱今天这篇文章，是特地在海边酒店的房间里完成的，可能略显粗糙，多包涵。

其实，关于芯片的市场和销售，也有好多心得要写。等咱把“滤波器”这个系列完结掉，就可以动笔了。

End

Roy个人观点，仅供参考。

如果你对数码产品、英语学习和励志成长也感兴趣，也可关注各平台上的同名视频账号：微博、抖音、视频号，B站、小红书：科技朋克Roy，知乎：Roy