如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上一点，连接AM，过点C作CH⊥AM交AM的延长线于点H，延长CH于点N，连接MN、BN.若∠MAD=∠BMN，求证：AM=MN+CN.

分析题目条件：

（1）正方形

（2）∠MAD=∠BMN

（3）CH⊥AM

结论让证明：AM=MN+CN，这是一道截长补短的题目。

解析思路

（1）由CH⊥AM和正方形这两个条件可以得到一个几何模型：“8”字型倒角。

由上图可知：∠BAM=∠BCN；

（2）由∠MAD=∠BMN和正方形这两个条件，可以得到：∠MAD=∠BMN=∠AMB；

方法1：在AM上截取MN'=MN，连接CN'

（1）首先证明△BMN≌△BMN'，得到BN=BN'，∠MBN=∠MBN'；

（2）再次证明△BCN≌△BCN'，得到CN=CN'，∠BCN=∠BCN'=∠BAM；

（3）其次∠BAC=∠BAM+∠CAM=45°，∠BCA=∠BCN'+∠ACN'=45°;所以∠CAM=∠ACN'，所以AN'=CN'

（4）最后，通过边之间的关系可以得到：AN'=CN'=CN，所以AM=MN+CN

方法2：延长MN与AB相交于点G，连接CG

（1）首先∠AMB=∠GMB，MB⊥AG，由“三线合一”知：MA=MG；

（2）结合分析和第一步证明可知：∠1=∠2=∠3

（3）同理：∠BGC=∠BGM+∠CGM=45°，∠BCG=∠BCN+∠GCN=45°;所以∠NCG=∠NGC，所以NG=NC;

（4）最后，通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；

方法3：连接BD交AH于点E，连接EC；

（1）首先证明△ABE≌△CBE，得到AE=CE；

（2）再次证明△ECM≌△NCM，得到EM=MN;

（3）最后，通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；

方法4：在AB上截取BG=BM，连接CG交AM于点P

（1）首先证明△ABM≌△CBG，得到∠BAM=∠BCG=∠BCN，AG=CM；

（2）再次证明△APG≌△CPM，得到AP=CP;

（3）然后证明△PCM≌△NCM，得到CN=CP=AP;

（4）最后，通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；

方法5：延长AB与MN相交与点G，延长CN与BG交于点Q

（1）首先∠AMB=∠GMB，MB⊥AG，由“三线合一”知：MA=MG；

（2）△GBM≌△CBQ，所以边之间的关系可以得到QG=CM；

（3）△GNQ≌△CNM，所以NG=NC，NQ=NM；

（4）最后，通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；

方法6：延长AB与CN交于点G，连接MG；

（1）首先证明△ABM≌△CBG，所以∠AMB=∠NMB=∠CGB；

（2）同时△BGM为等腰RT△；

（3）所以∠NGM=∠CGB-45°；∠NMG=∠BMN-45°；所以∠NGM=∠NMG；所以NG=NM；

（4）最后，通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；