原题重现:
如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB延长线上一点,DB=AB,E为AB的中点。求证:DC=2CE
解法一:
取AC中点F,则△ABF≌△ACE,∴CE=BF
且易得BF为△ADC的一条中位线,所以2BF=CD
即2CE=CD
解法二:
取DC中点,则BF为△DAC的一条中位线,再证△CBE≌△CBF(SAS)
则CE=BF=DF
即2CE=CD
解法三:
倍长AC至点F连接BF,则CE为△ABF的一条中位线,则2CE=BF
再证△ABF≌△ACD(SAS)
则BF=CD
即2CE=CD
解法四:
倍长BC至点F连接AF,则CE为△BAF的一条中位线,则2CE=AF
再证△DBC≌△ACF(SAS)
则AF=CD
即2CE=CD
解法五:
倍长CE至点F连接AF、BF,则四边形ACBF为平行四边形,则2CE=CF
再证△FBC≌△DBC(SAS)
则CF=CD
即2CE=CD
解法六:
△EAC∽△CAD(SAS)相似比为1:2
即2CE=CD
解法七:
取AC中点F
再证△EFC∽△CBD(SAS)相似比为1:2
即2CE=CD
解法八:
取BC中点F
再证△EFC∽△DBC(SAS)相似比为1:2
即2CE=CD
解法九:
倍长AC至点F,连接AF,连接DF。则CB为△ADF的一条中位线,则2BC=DF
再证△EBC∽△CFD(SAS)相似比为1:2
即2CE=CD
解法十:
倍长CB至点F连接DF,则△FBD≌△CBA(SAS),则2BC=CF
再证△EBC∽△DFC(SAS)相似比为1:2
即2CE=CD
解法十一:
倍长CE至点F连接AF,则△FAE≌△CBE(SAS),则2CE=CF
再证△ACF≌△DBX(SAS)
所以CF=DC
即2CE=CD
解法十二:
作AF⊥BC于点F交CE于点G,则易知G为△ABC的重心。
所以AG:GF=CG:EG=2:1
又因为EB:BD=1:2
所以BG∥CD
所以△EBG∽△EDC
所以EC:CD=EG:BG=EG:CG=1:2(BG=CG)
即2CE=CD