存在性问题在二次函数综合题中是最常见的出题方式，我们今天通过一道简单的二次函数题目，看看各种存在性问题的出题方式及解题方法。题目不一定难，但是可贵的是能将各类题型串联在一起。
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．如图，点P是直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
此道题，用一般式，交点式。顶点式都能求解。二次函数解析式、顶点D的坐标、一次函数的解析式如下图所示。
（2）过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
求PE的最大值，将几何动点最值问题转化为代数最值问题，是在“横平竖直”类的线段最值问题中最常见的解题方式，后续出题出现了许多系数，其实最终都是将其转化成这种最基本的题型。
（3）是否存在一点P，使△PBC面积最大？若存在，求出△PBC面积最大值，并求出点P的坐标；
在平面直角坐标系中，用“铅锤法”求三角形面积，是最常用的方法。
（4）是否存在点P，使得点P到直线BC的距离最大？若存在，求出点P到直线BC的最大距离，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
用“等面积法”是解这道题的“正确之道”。
（5）过点P作PE垂直x轴交BC于点E，作PF垂直BC交BC于点F，是否存在点P，使△PEF的周长最大？若存在，求出△PEF的周长最大值，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
根据三角形的三边关系，将三角形的周长转化到“横平竖直”的那条线段上，是这类题型的基本做法。涉及到其余特殊角或者一般的三角形的转化方法可以再阅读这篇文章：初中数学 | 二次函数中动点问题构成的三角形周长最大值
（6）是否存在点P，使得直线BP将四边形ADBC的面积分成1:3两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
这道题需要分两种情况进行讨论：上:下=1:3或者3:1；
首先可以求出四边形ADBC的面积等于4，发现△DAB与△CAB的面积之比刚好是1:3，所以第一个P点就是A点。
第2种情况，实际需要求的是Q点的坐标，然后求出BQ的直线解析式，联立直线BQ解析式和抛物线解析式，求出P点的坐标。
（7）若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使得∠PCB=∠ACO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
这道题需要分两种情况进行讨论；P在直线AB上方和下方。整体思路是通过直角三角形形的三角函数值，构造K值相似，求出Q点的坐标，从而联立直线AQ和抛物线的解析式，求出P点的坐标。
第一种情况，发现Q（2,1）与顶点D重合，所以P（2,1）.
第二种情况，求出Q点（4，-1），从而可以求出P点的坐标。
（8）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；
①以A为直角顶点，作AM1垂直AC与对称轴交于点M1；
②以C为直角顶点，作AM2垂直AC与对称轴交于点M2；
③以AC为直径作圆，与对称轴交于M3、M4；
（计算过程省略）
（9）在线段OB的垂直平分线上是否存在点H，使得点H到直线BD的距离等于HO的距离？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
此题考查中垂线的性质，由题意可知，HO=HB=HM，所以M与B重合才成立。过点B作BH⊥BD交OB的中垂线于点H即为所求。
（10）△AOC绕平面内一点Q旋转90°，若旋转后得的△AOC有两点落在抛物线上，求旋转后的点C的坐标。
①当绕着点Q逆时针旋转90°时，可以是A、C两点落在抛物线上；
②当绕着点Q逆时针旋转90°时，可以是O、C两点落在抛物线上；
③当绕着点Q顺时针旋转90°时，可以是A、C两点落在抛物线上；
④当绕着点Q顺时针旋转90°时，可以是O、C两点落在抛物线上；
计算方法，设出C点坐标，求出A、O的坐标，将在抛物线上的点的坐标代入抛物线解析式求解方程即可。
(11)在线段CD的垂直平分线上是否存在点H，使得△HAC为等腰三角形，并求出H点的坐标。
等腰三角形的存在性问题，“两圆一线”是解题的基本策略。
①以A为圆心，AC为半径作圆，交直线于H1、H2；
②以C为圆心，AC为半径作圆，交直线于H3、H4；
③作线段AC的中垂线与直线交于点H5；
计算方法：求出CD中垂线的解析式，设出点H的坐标，用两点间的距离公式求出线段的长度，对应长度相等解方程即可。
（12）将原抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴正方向平移1个单位得到新的二次函数y’，在新函数的对称轴上找点P，在新函数上找点Q，使得由A、C、P、Q四点构成的四边形为平行四边形。
求出平移之后的抛物线解析式，对称轴。然后将A、C、P、Q四个点从图像中抽离出来，得到以下三种情况。
计算方法：分别设出P、Q两个点的坐标，然后根据中点坐标公式求解出点的坐标。
本次的内容就总结到此，这里面包含了线段的最大值，面积的最大值，周长的最大值，面积的存在性问题、角度的存在性问题、等腰三角形的存在性问题，直角三角形的存在性问题，平行四边形的存在性问题等。
