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第一章
1.3优化素质
优化数学素质的主要途径是注重知识的发生过程，如概念的形成过程，定理的发现过程，证明的寻找过程等．对于解题来说，进行解题过程的分析是优化素质的一条捷径．
题目呈现
例1.6 已知 a ≠b，且
{a²-4a+1=0,
{b²-4b+1=0,
求
的值。
分析 由
可见，只须求出 a + b , ab 即可．又由已知得 a , b 是二次方程x²-4x+1=0的两个根，故有a+b=4, ab =1.
故得
这样，我们通过有理有据的分析找到了一个解题思路，也得出了正确答案．但是，学数学如果停留在这一层次上，仍有"进宝山而空返"的遗憾．当初我们不知道
的值是多少，探索具有一定的盲目性，走点弯路也在所难免，但找到
之后，情况就不一样了．多了这个信息，我们就有可能对问题看得更加透彻．就像爬山，一开始，我们不知道怎么走，见到能走的地方就走，但爬到山顶之后，往下一看，一切都清楚了，原来有更直、更平、更好的路。这个居高临下的回首，就为我们提供了指导性的经验．
事实上，由（1）知，
只须
即(a+b)+2=ab+(a+b)+1,
即 ab =1.
由此可见，当初求"a+b=4"是多余的，有ab=1就够了．这一瞬间的恍然大悟，体现了数学的领悟．
解 由已知得 a , b 是二次方程
x²-4x+1=0的两个根，故有
ab =1,
从而
由于这种解法比较接近问题的实质，推广立即成为可能（见习题1第3题）.
以优化素质为目的的解题过程分析，本书的第2章、第11章等处还要展开．事实上，上面的6个例子只是"怎样学会解题"的引言，本书的叙述，正是沿着这样的宗旨和思路，与读者一起去领略数学的内容，领会数学的方法，领悟数学的思想，培养数学的意识．
确实，谁也无法教会我们所有的习题，但是，我们可以通过有限道题的实践、分析与本质把握，去领悟那种能解决无限个问题的数学机智．
习题1
3．已知 abc =1．求证：
反之成立吗？
4．分析下题的解题过程，删去多余步骤，给出一个简化解法．
题目 已知二次函数
y=x²-mx+(m-2)的图像与 x 轴交于A ,B 两点，且|AB|=5/2．抛物线的顶点为C，求△ABC 的面积．
解 设 A , B , C 的坐标为 A (x₁,y₁), B (x₂,y₂), C (x₃,y₃)，则x₁,x₂是二次方程
x²-mx+(m-2)=0
的两个根，故有
x₁+x₂= m ,
x₁x₂=m-2.
从而
得4m²-16m+7=0.
解得
从而抛物线为
或
两种情况下均有
所以，所求面积为125/64.
7. 实数a，b满足ab=1，记
则M，N的关系为
(A) M>N; (B) M=N; (C) M<N; (D) 不确定.
(1996年全国初中数学联赛试题)
第11章
为了更美的题解
——解题过程分析
11.1拉开黑房间的电灯
在例1.6中，我们一开始的分析，觉得应求出a+b=4, ab=1
来，但在获得解题思路之后回过头来一看，却发现求出
a+b=4是多余的．这就像黑夜中，我们走进了一座黑房间，不得不摸索前进，弄不好还会碰壁；但拉开电灯之后，一切都明明白白，房间内的结构和摆设一览无余．
在我们这里，"拉开电灯"就是"分析已经解过的题"．在第2章我们曾专门分析过解题的信息过程，而本书各节的许多例子也无不伴随着"分析解题过程"的主旋律．这一次，我们将从优化解题过程的角度继续这种分析．
图11.1
让我们回过头来看看习题1第4题．"电灯已经拉开"，我们首先求出了两条抛物线
然后求出顶点 C 的纵坐标，经计算，两个顶点的纵坐标是相同的：
于是，两种情况下有等值的面积
无论我们怎么检查，都没有发现有任何错误：推理是严谨的，计算是准确的．
但是，数学是真与美的统一，因而，解题也应该既正确无误又艺术优美．这里说的美，主要不是指外在的、书写或绘图的工整规范，而是指在解题思想、解题方法、解题技巧上所体现的数学内在的统一美、对称美、简洁美和奇异美．
为了学会解题，为了通过解题来优化我们的思维素质，我们要"拉开电灯"，睁大眼睛，分析解题过程．上述解题过程中有一个现象应该引起我们的思考：既然两条抛物线顶点有相同的纵坐标（注意，横坐标不相同），那么我们能否统一地一次求出y₃呢？
再分析解题目标，由面积公式
可知，为求面积只需求y₃，为求 y₃，先确定m只是充分的，并不必要．因为抛物线的纵坐标可以由 AB 的距离算出．由
得
但
这说明，求 m 是多余的．
解题过程中存在多余的思维回路不仅不优美，而且还存在潜在的危险：
第一，干扰正确思路的寻找，有时还会产生误导．
第二．即使不误导，万一在计算过程中出现差错，也会前功尽弃。
对比一下就可以看到，直接由式（1）得出 y₃，再代入面积公式，书写量只是原解法的⅓，计算也不易出错．更重要的是，我们的解题能力已经在这种再回顾的潜移默化中获得了很大的提高．
11.2 如何分析解题过程
解题经验告诉我们，进行下述四个方面的分析，将有助于寻找更美的数学解．
(1）看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美．
(2）看能否用更一般的原理去代替现存的许多步骤，以提高整个解题的观点和思维的层次．
(3）看能否用更特殊的技巧去代替现有的常规步骤，以体现解题的奇异美．
(4）看解题过程是否浪费了更重要的信息，以便开辟新的解题通道．
一般说来，当我们面对一个尚待解决的问题时，总是先瞄准某些已经抓住的方向，展开大跨度、粗线条的联想或类比，力求以破竹之势直达解题目标．这时候的"脑风暴"无暇顾及更多的细节，也来不及选择更平坦的道路，但是当思路一旦打通，题目初步解出时，兴奋（第一次兴奋）之余的沉思，将会使我们冷静地找回当初浪费在半途上的更重要的信息，将会使我们洞悉那本来不需要的许多思维回路，进一步的思考，更周密的运筹，常常会激发出一个更机智的数学念头，这时候的兴奋（第二次兴奋）不仅较前次更为强烈，而且更充满美感．
以下略。
《数学的领悟》截图
文章来源《数学的领悟》，作者罗增儒教授。
