三角形的正切半角定理，s是三角形的半周长
在三角形已知三边的情形下，为了得到适合于对数计算的公式，把余弦定理给出的表达式(1)
代入到下面的公式(2)中去：
得到表达式(3)
对于另外两个角的半角余弦也有类似的表达式。如引进三角形的周长2s，即2s=a+b+c，或
s=½(a+b+c)，于是
s-a=½(b+c-a)，s-b=½(c+a-b)，
s-c=½(a+b-c)，因此，表达式(3)可以改写成表达式(4).
类似地将余弦定理给出的表达式(1)代入公式(5)，
得到关系：表达式(6)
将对应等式相除就得到了正切半角定理：公式(7)
写出一个公式后，可以通过循环置换得到下面的类似公式：
对于解三角形的具体计算而言，当需要由三边a，b，c来计算三个角α，β，γ时，建议采用上述正切半角定理。优点是可以用对数降低计算难度，减轻计算负担。求出三个角之后可以用三角形内角和定理来验算。
请看下面的半角定理应用题。
在高地上的三个点R₁，R₂，R₃要用雷达进行联系(见图11.2-6)。在R₁，R₂，R₃的每一点处建造的发射器和接收器必须朝着什么角度才行？已知|R₁R₂|=c=45.21英里；|R₂R₃|=a=52.46英里；|R₃R₁|=b=39.37英里。
解析：本题是已知三边解三角形的典型例题。应用余弦定理或半角定理可以求出解答。这两个定理写出一个公式后，可以用循环置换得到其他类似的公式。从中可以感受到公式的对称之美。
两种解法答案都是唯一的，而且既可以从六个数a²，b²，c²，2ab，2bc，2ca的适当组合，也可以从四个数s，s-a，s-b，s-c的适当组合来得到答案。因而三个角α，β，γ都应当求出来，而三角形内角和可用来验算。
为了展示半角定理方便利用对数计算的优越性，以下给出余弦定理和正切半角定理两种解法以供对比。
解法一：半角定理
a=52.46,s-a=16.06,取对数1.20575;
b=39.37,s-b=29.15取对数1.46464；
c=45.21,s-c=23.31取对数1.36754；
2s=137.04, s=68.52取对数1.83582.
设tan½α=T₁，则
lgT₁=-0.104695
查表得T₁=0.7858
arctan0.7858=38.16°
α=76.32°
设tan½β=T₂，则
lgT₂=-0.363585
T₂=0.4329
arctan0.4329=23.41°
β=46.82°
设tan½γ=T₃，则
lgT₃=-0.266485
T₃=0.5414
arctan0.5414=28.43°
γ=56.86°
验算
解法二：余弦定理
a²=2752.0516，
b²=1549.9969，
c²=2043.9441，
b²+c²-a²=841.8894，
c²+a²-b²=3245.9988，
a²+b²-c²=2258.1044，
2ab=4130.7004，
2bc=3559.8354，
2ca=4743.4332
cosα=841.8894÷3559.8354
≈0.2365
arccos0.2365=76.32°
cosβ=3245.9988÷4743.4332
≈0.6843
arccos0.6843=46.82°
cosγ=2258.1044÷4130.7004
≈0.5467
arccos0.5467=56.86°
验算
通过两种解法的对比，显然使用正切半角定理比较优越，大大降低了计算难度。所以，在没有计算机的时代，对数就相当于计算机。
怎样求三角形内切圆半径？怎样引入参数把半角定理改写成更简洁的形式？欲知详情，欢迎大家阅读我的往期文章https://m.toutiao.com/is/SMgNALy49O4/ - 已知三角形三边，如何求三个内角的度数？（趣味几何学漫谈） - 今日头条
例题选自《简明数学全书》(Ⅰ.基础数学)。
