前面我们研究过指数是正整数的幂函数，如y=x，y=x²，y=x³。现在我们来研究指数是负整数的幂函数。先研究函数y=x⁻¹。
1.函数y=x⁻¹的定义域
根据负整数指数幂的定义，我们知道
x⁻¹=1/x (即x的倒数,这里x≠0)，
所以函数y=x⁻¹也可以写成
y=1/x的形式。
这里函数的解析式是自变量x的一个有理分式，所以这种函数也叫做有理分函数。函数y=1/x是有理分函数中最简单的一个。
考察这个函数的定义域，显然，函数y=x⁻¹的定义域是不等于零的全体实数，就是区间-∞<x<0和0<x<+∞.(0是间断点)
2.函数y=x⁻¹的性质
用§5.2里的方法，先从函数解析式的本身来考察函数y=1/x的一些特点。为此，令
f(x)=1/x.
(1)函数的奇偶性。因为
f(-x)=1/(-x)=-(1/x)=-f(x)，
所以函数y=1/x是奇函数.
(2)函数的增减性.
设x₁，x₂是自变量x在区间0<x<+∞的任意两个值，并且x₁<x₂，那么
所以f(x₁)-f(x₂)>0，就是f(x₁)>f(x₂)。这就是说，函数
在区间0<x<+∞里是减函数。
用同样的方法可以确定函数y=1/x
在区间-∞<x<0里也是减函数。
(3)函数的有界和无界性
因为当x取正值而逐渐接近于零的时候，1/x也取正值，但是绝对值越来越大，没有限制，所以函数y=1/x不能有上界。
同样，可以知道函数y=1/x也不能有下界。
3.函数y=x⁻¹的图象
了解了函数的定义域和函数的某些性质以后，我们就可以比较简单地画出函数y=1/x的图象。
因为x=0的时候，1/x没有意义，所以函数y=1/x的图象不通过原点。
因为函数y=1/x是奇函数，所以我们只要先作出它在x取正值时的图象。
为了画出它的图象，先取x的一些正值 求出对应的函数值。然后列表作图(图5.6).
这个图象是由分开在第一、第三象限里的两条互不相交的曲线组成的，叫做双曲线．
注 从表中可以直观地看出，当 x 取正值而绝对值愈来愈大的时候，1/x也取正值，愈来愈接近零，但不能等于零，所以曲线不能与 x 轴相交。同样，当 x 取负值而绝对值愈来愈小的时候，1/x也取负值，愈来愈小，曲线愈来愈靠近y轴但不与y轴相交。通常我们把x轴和y轴叫做双曲线y=1/x的两条渐近线(曲线和它们渐渐接近，但不相交)。
习题5.3
1.证明函数y=1/x在区间-∞<x<0里是减函数。
2.仿照对y=1/x的讨论，研究一下函数y=-(1/x)的性质，然后再作出它的图象。
*3.已知函数y=x⁻².
(1)求函数的定义域。
(2)这个函数是奇函数还是偶函数？
(3)在区间0<x<+∞上，这个函数是增函数还是减函数？
(4)这个函数有没有上界或者下界？
(5)画出它的图象。
下期预告：名师彻底讲透初等函数(29)函数y=k/x(k≠0)
1.反比例关系
在上期的表中，仔细考察一下自变量的各个值与对应的函数值之间的关系，可以看出一个重要的事实，这就是：当变量x的值放缩(扩大或缩小)若干倍的时候，变量y的值随着缩放(缩小或扩大)相同的倍数。
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