原标题：纪念克莱因
——介绍《高观点下的初等数学》
作者：齐民友
我们不妨用这部名著最后一卷（第三卷）的最后一句话来开始我们的介绍。
"保持一流大师的遗风：回到固有的生动活泼的思考，回到自然！"
这段话栩栩如生地刻画了本书作者克莱因的风范。他是近几个世纪的当之无愧的数学大师。在解释这一段话之前，我们先来介绍一下他的生平和对于数学事业的贡献。
克莱因（1849-1925年）生于德国莱因河畔的杜塞尔多夫。中学毕业后进入波恩大学，师从普吕克（ J . Plucker )。当时，普吕克的科学兴趣集中在几何学，所以克莱因也以几何学开始了自己的数学生涯。克莱因得到博士学位时，恰好普吕克去世。他也就离开了波恩。在好几所大学工作以后，他受到著名几何学家克莱布什（ R . F . A . Clebsch )的青睐，得到了埃尔朗根大学的教职。1872 年发表了著名的就职演说，题为" Vergleichende betrachtungen über neuere geormetrische forsuchungen "("近代几何研究的比较评论"，英文本 Felix Klein , A comparative review of recent researches in geometry) ，也就是著名的爱尔朗根纲领。遗憾的是，英文本不太容易找到，所以尽管它影响深远，读过它的人却很少（作者遗憾地承认，自己也没有读过。过去可以说是因为很难找到，但是现在可以在网上找到全文： Math . ucr . edu / baez / Erlangen / Erlangen _ tex pdf )。当时克莱因还只有23岁。尽管他在几何学上如此贡献卓著（另一项贡献是给出了双曲几何的克莱因模型，并且证明了，这种几何学的相容性等价于欧氏几何的相容性），他自己却认为自己在数学上最大的贡献是在复分析。他认为自己最大的成功在于发展了黎曼（ B . Riemann ）关于解析函数理论的几何物理的途径，把它与群论、不变式理论、高维几何学、微分方程等融合在一起。1880年起他来到莱比锡大学，而且树立了一个目标，就是按照黎曼的思想建立一个学派。可是天忌英才，从1882年起，他就因重病而不能继续从事这项伟业。1886年，他离开了莱比锡去哥廷根，可以说，他的研究生涯至此结束。
有人说，克莱因有两个灵魂：一方面他渴望宁静的研究生活；另一方面他又是热情的教育家、组织者。从他1886年到哥廷根以后，他就致力于把哥廷根建成为当时一流的数学中心。希尔伯特（ D . Hilbert )就是克莱因延聘到哥廷根的。著名的刊物 Mathematische Annalen (《数学年刊》）也在他的主持下，成了当时最有权威的数学刊物之一。而十分重要的是他对于中学数学教育改革的贡献。他在哥廷根一直为中学教师讲课，讲稿最终整理成《高观点下的初等数学》这部名著（以下简称《初等数学》)。从1901年手稿面世直到1928年第三卷由赛法特整理成书，历时27年。其时克莱因已经去世3年了。
已故的吴大任教授，为中文译本写的序言对这本书作了非常精到的评述。现在在数学界，凡说到初等数学，不少人心中总会有一种"小儿科"的感觉，吴先生指出《初等数学》就是基础数学。而且这里讲的不是什么搞博士点、重点学科那种意义上的基础数学，而是整个数学的基础。本书原名的 Elementarmathematik 是否也可以如是理解呢？如果是这样，那么本书的读者，就不只是中学老师，而用吴先生的话来说："所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发。"也正因为如此，"《初等数学》一书，至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……"为什么要从高观点来看呢？吴先生说："理由是，观点越高，事物越显得简单。例如在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点来看，就清楚了；在欧氏空间里某些不好解释的现象，从射影空间的观点来看，就有满意的说明。"他接着说："克莱因认为，数学专业大学生学到的专业知识不少，而许多重要的……却往往被忽视了。《初等数学》正是着眼于弥补这些缺憾，揭示数学各部分之间的联系，指出它们的共性，它们产生与成长的内因、外因和过程以及它们的应用等等。"吴先生接着强调，《初等数学》特别着重"融合"，即"初等数学同高等数学的融合、数学各部分的融合、几何观念同算术观念的融合、感性与理性的融合等等。可以认为全书是以上各种融合的融合。"这里，还对作者原意给予补充：数学与物理学以及各种自然科学的融合，数学的逻辑结构与历史发展的融合。
现在对于克莱因关于中学数学教育改革的具体主张作一些介绍。这些主张中的要点就是把微积分初步放在中学，而且强调函数的概念。请注意，这是100年前提出的，而我们不少人却认为是新一轮课改的成果（或隐患）。放眼世界，在大多数发达国家，这已经成了不需要讨论的事情（可能美国例外）。有许多国家写出了很好的教材。我愿特别呼吁：请注意日本的中学教材。我曾比较仔细地读了日本数学家藤田宏主编的高中（日本人称为"高校"）数学教材。据说日本的义务教育是12年，即相当于我国的高中。又据说，日本高中毕业生有40％学理科教材。也就是说，基本上掌握了一元函数的微积分。如果我国每年进入高校的新生有20%（按今年大学招生数估计，即120万人）达到这样的教材所反映的数学水平，那么，我国许多高校理工科的数学教学，将面临新的挑战。美国数学会曾翻译了小平邦彦主编的高中教材，受到不少好评。例如 Zentralblatt MATH 在其评论中就说，应该感谢美国数学会，组织翻译了一本比现在欧美国家使用得更好的数学教材。是否有哪一家出版社愿意考虑这件事？回到本题，为什么要在中学教微积分初步？克莱因说，如果没有这样的准备，就不可能理解当前正在研究的自然现象。这与另一批美国学者的看法是一样的。美国德州仪器公司（ TI ）一位高官组织了一些数学家研究美国的数学教育，他们发现，尽管美国数学界和数学教育界看法有分歧，但在一点上却有共识：21世纪的劳动者应该懂得微积分初步。可是克莱因提出这个观点早在100年前！
关于在中学教微积分初步，最大的疑虑来自对中国现在的中学教学水平的估计。确实，根据我近年的了解，相当大的一批中学，如果能够把一本比较平实的教材，例如几年前用的老教材教清楚，就很不错了（还要花很大的力量）。不平衡仍然是基本的国情。但是如果只考虑这一部分学校，显然也是不行的。如何对待这种不平衡性，当然是另外一个问题了。
同样，从我接触到的许多中学来看，教师的数学水平经过一定的努力，是能够满足现行"课标"的要求的。而正是对于这样一大批中学（和大学）数学教师，克莱因在《初等数学》一书中提出的意见更是值得深思。《初等数学》第一卷第四章后有一个附录："关于数学的现代发展及一般结构"，克莱因对自17世纪以来围绕微积分的数学发展的轨迹作了十分精彩的论述。概括地说，克莱因指出，这里有3种不同的进程，互相交替，又互相补充。片面地只强调其一，而忽略其他，是有害的。所谓进程 A ，在教学上的表现，就是：
(1）先是方程和有理式的形式运算，用根式解方程；
(2）系统地研究幂运算及其逆，出现了对数；
(3）现在进入几何领域，有了三角函数，然后三角成了一门独立的学科（或章节）;
(4）进入"代数分析"，也就是以幂级数为中心，讲二项式定理、指数与对数函数的展开式， sin x , cosx 的展开式。这时突然出现了欧拉( Euler ）公式 eⁱˣ = cosx + isinx 。学生难免奇怪，何以来自全然不同领域的函数会有如此奇怪的关系！
(5）这时进入了复域，就是以幂级数为中心的魏尔斯特拉斯( Weierstrass ）理论。
很容易看到，我国的数学教学（从高中到大学的分析数学各课程）就是按照进程 A 来组织的：(1）到（3）是高中教材，(4）和（5）是大学教材。如果说有区别的话，就是在（3）与（4）之间，插进了一块或大或小的极限理论。特别是大学数学系本科，是完全以 ε-δ为基础的魏尔斯特拉斯理论，使学生吓得要命，所以人们戏称为"大头微积分"。不但是头重脚轻，甚至是头足倒立。因为它不由分说地把历史发展的"终结"（魏尔斯特拉斯是在1861年在柏林讲课时才使用了这种讲法）放在历史的"起点"（牛顿（ J . Newton ）和其他人在1650年以前就在用幂级数了，这就是（4）的内容），提前了大约200年！那么进程 A 有什么指导思想呢？克莱因指出，"进程 A 是建立在把一门学科进行分解的概念上的，即把一个整体分成一系列互相独立的部分，使各部分独立发展。尽量少借助于其他部分的知识，尽可能避免引入相邻领域的概念。进程 A 的理想是把各个局部领域的知识结晶为一个逻辑封闭系统。"
那么，在数学的发展中还有没有别的进程呢？克莱因指出，还有进程 B 。克莱因指出它的中心思想是解析几何的思想，就是我们常说的"数形结合"。具体来说就是：
(1）先从最简单的函数：多项式，有理函数的图像开始，得出一个概念：函数的零点（即方程的根）就是图像与 x 轴的交点。
(2）有了图像就自然地出现了斜率、面积的问题，于是微积分出现了。
(3）许多（甚至是绝大多数）函数的积分不能用已知函数来表现。例如由双曲线 xy =1下面的面积，得出了对数函数的定义
（请注意，这不是克莱因别出心裁想出来的讲法，历史就是这样的，牛顿很明确地这样做，纳皮尔（ Napier ）也是用积分或微分方程来定义对数的）。类似于此，研究圆扇形的面积给出了反三角函数：
克莱因指出像这样走下去，就会得到椭圆函数和椭圆积分，而它们确实是克莱因时代数学的高峰。
(4）通过一个统一的原理：泰勒（ Taylor ）级数，得出许多函数的幂级数展开式。在历史上牛顿确实是从上面的两个积分得到 log (1+ x )和 arcsinx 的级数展开式，然后又十分巧妙地对这些级数进行反演（即求反函数的展开式）得到了 e 和 sinx 的展开式。请注意，这是历史的真相！
(5）循此前进，在复域中得到黎曼的几何化的复分析。
回到我国的数学教学，大概（1）和（2）还是大家熟悉的，以后就渐行渐远，可能很多人还会以为以后的几条多是小玩意，不必去关心了。克莱因则说，"进程 B 把主要重点放在各局部领域的有机结合上，放在各个局部的互相促进上，因而宁可采用统一的观点来理解好几个领域的方法。进程 B 的支持者的理想是把数学科学的总和理解为一个巨大的相互联系的整体。"
除此之外，克莱因还指出，数学的发展还有进程 C ，其特征是强调算法的作用。不过这里的算法一词和我们理解的不太一样，而更加广泛，大体上是指包括用字母和各种符号进行演算和推理的过程。《初等数学》一书对此没有展开，我们也就不再讨论了。
人们会问，这3个进程，孰优孰劣？其实克莱因没有这样提出问题。存在3种进程，是历史的真实，所以他认真详细地讨论了历史，主要是以人们认识各种函数的历史，说明这3种进程如何互相作用，彼此消长，而终于进程 A 占了上风。但是克莱因很明确地指出，从教学的角度来看，这有明显的弊端。他说，对于一个数学家和数学教师，倾向于，或者更喜欢哪一种进程，无所谓是非好坏，但是对于广大学生，克莱因十分明确地认为，现在进程 A 的地位是太高了。"人们不免要问这两个方法（即进程）哪一个更有效？对于没有特殊的数学抽象天赋的学生，哪一种方法更好？"对于我们这些教书的人来说，这真是一个好问题。我们都有这样的经验：每一个班上总有几个好学生，他们中的许多人确实有特殊的数学抽象天赋，在 ε-δ的海洋中可以说是如鱼得水。但是多数人则不一定如此。再说，这少数人能否真正再上一层楼，还需要努力。看来问题的关键是缺少进程 B 的熏陶。克莱因以指数函数和三角函数为例来说明这一点。按照进程 A 我们用
作为指数函数的定义。在经过微分学很长的旅行以后偶然地（即与学生熟悉的几何意义完全无关地）发现
最后把 e 中的 x 换成 ix ，又完全偶然地得到欧拉公式。为了强调这种做法的意义重大，特别声明这个毫不自然的做法给出的竟然是自然对数的底。在我国许多大学和中学教材中还要特别声明 e =2.71828…是一个无理数（为什么不说是超越数呢？)，可能想让学生联想到π。可是在什么地方出现了圆周呢？另一个与此相关的例子是在正态分布中还出现了
，怎么人的生老病死又扯了进来呢？大概教师们都会说 e 实在太美了、太神奇了，欧拉公式是最美妙的公式等等。学生是不是也这样想，就是另外一回事了。克莱因这本书写得很客气，因为他绝无轻视进程 A 以及喜欢这个讲法的学者们的意思（如果读者不信，请读一下第三卷关于处处连续但不可微函数的介绍，关于皮亚诺曲线的介绍等等，请与您所熟悉的数学分析教材比较，看看是谁讲得更清楚）。但是在这里，克莱因讲了几句重话：
,"这个定义，通常都放在大部头的分析教科书最开始处，这是模仿法国的教法。而丝毫不讲它的来由，这样就缺少了真正最有价值的、能促进理解的部分，即不解释为什么恰好用这样特别的极限做底，为什么由此导出的对数称为自然对数。"然后，同样形式地给出了自然对数函数的展开式
，完全不讲对数表是怎样得出的。（当然，现在我们都不用对数表了，计算尺对于现在的学生早就成了古董。但是数值计算难道会成古董吗？）克莱因对此大为不满，他斥责说："这种不问究竟的态度是可鄙的实用主义，它藐视任何一种比较高级的教学原则，对它必须严厉谴责。"大家知道，克莱因是计算数学和应用数学作为专门学科的开创者之一。《初等数学》一书对于现在我们认为应该放在计算数学课程里的内容：插值法，包括三角插值、数值积分等等，无不用充分的篇幅加以讲解，而对轻视者一定严厉谴责。这与我们现行的大学教材（包括工科教材）形成了鲜明对照（这一段中引用克莱因的话请参看第一卷第七章§7.1)。
再来看看按照克莱因的想法，按照进程 B ，指数函数及其与三角函数的关系应该怎样教。他说（以下的引语又见第一卷第四章的附录）:"在进程 B 中，其中联系是以很容易理解的方式出现的，并与这些函数的意义相一致，这一点是从一开始就加以强调的。事实上，函数 eˣ和 sinx 在这里是同出一源的，是从求简单曲线的面积产生的，由此很快就把人们引到最简单的微分方程
这两个相应的微分方程当然是上述一切应用的基础。"
我们就不再往下引用了。现在我们常说什么什么"理念"，克莱因当然是有丰富理念的人。但是更值得我们学习的是，克莱因尽管有崇高的地位，可是他没有停止在理念上或将具体事情让别人（例如学生）去做。在《初等数学》这本大书里，他可以说是一个一个函数地研究，讲它们的历史、应用，提出教学建议。"理念"溶化在数学中，呼之欲出，而又不显踪影。这样，读这本书，您会感到极有收获，而不得不心悦诚服。不得不承认克莱因是真正的大师！克莱因没有叫我们去做什么，但是你会自己也想仿效他去做。可是这绝非轻松事！上面讲的欧拉公式等等，听起来确有道理，可是想把它变成大学生（甚至中学生）也能懂的材料，恐怕要费极大的工夫了。我愿向读者推荐一本书： T . Needham , Visual Complex Analysis ，人民邮电出版社出版了它的影印版，希望不久之后可以看到中文译本。看看人家是怎样把它变成大学生（可能还有优秀的中学生）能读的书。可是还有进一步展开的空间。有条件的中学老师也可以读一下它的第一章。这样就会知道，所谓爱尔朗根纲领是怎么一回事了。
由于本书内容丰富，我们只能选取一段来介绍克莱因的思想。在结束本文时，我愿再回到吴大任先生的序言。吴先生是我国数学界受人尊敬的前辈和长者。本书第三卷由他和夫人陈鹦亲笔翻译，是他们夫妇对我国数学界和青年人最后的奉献。当时吴先生视力下降，可是在这样的困难情况下，仍然字迹工整，十分令人感动。他在中译本序言的最后表达了自己的殷切希望："（本书）德文本出版已过了63年，英译本出版也过了49年，现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷。我热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》。这样一本书出版将是我国数学教育史上的一件大事。"
再读一下克莱因的话：
"保持一流大师的遗风：回到固有的生动活泼的思考，回到自然！"
这本书不正是生动地向我们展示了什么是一流大师的遗风吗？
2007年6月24日于武汉大学
