下面证明||Ah||=||A|| ||h||。
按照范数的定义：
用Ah代入上式，得到
图1
上式表示x≠0的情况下，||Ah||是|Ah(x)|的上确界，因此当||x||=1的时候，|Ah(x)|<=||Ah||。
同时，由图1看到，|Ah(x)|有可能取最大值||A|| ||h||，所以||A|| ||h||<=||Ah||。
综合以上得到||A|| ||h||=||Ah||。
注意这里的h是一个线性函数，A是线性算子，所以Ah=ch,这里的c是一个常数。
得到||Ah||=||ch||=c||h||，从而||A||=c。
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