泛函分析中的正则算子定义如下：
以上定义类似于：反函数和原函数乘积
的定义域和值域通常等于原函数的值域和定义域。
比如，假设算子Bx=2x。
其中的引理1是指：
由以上正则算子的定义可以看到，正则算子似乎可以看作是函数于反函数概念的延申，只是把函数拓展到泛函的范围。
线性算子的具体例子包括恒等映射（单位算子）、零映射（零算子）、连续函数的积分以及微分算子。
恒等映射（单位算子）是一种特殊的线性算子，它将线性空间中的每个元素映射到其自身，即对于任何元素x，有T(x)=x。零映射（零算子）是一种将所有元素映射到零的算子，即对于任何元素x，有T(x)=0。连续函数的积分可以视为从连续函数空间到实数的线性算子。例如，对于连续函数f(x)，其积分∫f(x)dx可以看作是一个线性算子，它将函数空间中的元素（即连续函数）映射到实数空间中的元素（即实数）。微分算子是从具有一阶连续导数的连续函数空间到连续函数空间的线性算子。它作用于函数上，计算出该函数的导数。微分算子具有线性性质，即对于任何两个函数f(x)和g(x)以及任意常数a和b，有T(af(x)+bg(x))=aT[f(x)]+bT[g(x)]，这表明微分算子满足线性的要求。这些例子展示了线性算子的多样性和应用范围，从简单的恒等和零映射到复杂的积分和微分算子，它们在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用
