调和分析是数学中的一个重要分支。
定义与内涵调和分析主要研究函数或信号如何分解为基本的调和函数（如正弦函数和余弦函数）的线性组合，或者更一般地，分解为具有特定性质的函数系的线性组合。它通过分析函数在不同频率下的分量，来揭示函数的整体性质和局部特征。
发展历程起源可以追溯到 18 世纪，当时数学家们为了解决物理中的振动问题和热传导问题，开始研究函数的三角级数展开。19 世纪，傅里叶的工作为调和分析奠定了坚实的基础，他提出的傅里叶级数理论成为调和分析的核心内容之一。20 世纪以来，调和分析在理论和应用方面都取得了巨大的发展，与泛函分析、偏微分方程、概率论等多个数学分支相互交叉、相互促进。主要内容傅里叶分析：是调和分析的重要组成部分，它研究函数的傅里叶级数展开和傅里叶变换。通过傅里叶变换，可以将函数从时域转换到频域，从而更方便地分析函数的频率特性。函数空间理论：研究各种函数空间的性质和结构，如L^p空间、索伯列夫空间等。这些函数空间为调和分析提供了基本的研究框架。算子理论：研究各种线性算子在函数空间上的性质和作用，如卷积算子、奇异积分算子等。算子理论是调和分析的重要工具，用于刻画函数的各种性质和分析偏微分方程等问题。应用领域物理学：在量子力学、电磁学、光学等领域有广泛应用，用于分析波动现象、解决物理问题。工程学：在信号处理、图像处理、通信工程等领域发挥着关键作用，如通过傅里叶变换进行信号的滤波、压缩和特征提取。数学其他分支：为偏微分方程、概率论、数论等分支提供了重要的研究方法和工具。调和分析是一门具有丰富理论和广泛应用的数学学科，它在现代科学技术和数学研究中都具有重要的地位。
那么，什么是调和函数呢？
基本性质平均值性质：调和函数在某点的值等于它在以该点为中心的任意球面上的平均值。极值原理：非常数的调和函数在区域内部不能取得最大值和最小值，其最大值和最小值只能在区域的边界上取得。光滑性：调和函数具有无穷阶可微性，即它的任意阶偏导数都存在且连续。相关定理
应用调和函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。例如，在静电学中，电势函数在没有电荷分布的区域内是调和函数；在流体力学中，不可压缩无旋流体的速度势函数也是调和函数。通过研究调和函数的性质和求解相关的边值问题，可以解决许多实际的物理和工程问题。
