通过证明更广泛的希尔伯特第十问题，数学家们进一步揭示了数学中的未知领域，拓展了我们的认知边界。
数学世界总是充满了那些无法触及的角落，那里住着一个个无法解答的问题。近日，另一个这样的难题被揭示了出来。
1900年，著名数学家大卫·希尔伯特提出了23个关键问题，作为引领下一个世纪数学研究的指南。这些问题不仅为数学领域提供了方向，也反映出他更宏大的愿景，通过这些问题建立一个坚实的基础，推导出所有数学真理。
希尔伯特的愿景中，有一个重要部分就是数学应该是“完整的”。也就是说，所有数学陈述应该是可以被证明为真或假的。
然而，到了20世纪30年代，库尔特·哥德尔通过证明，任何数学体系中都会存在无法证明也无法推翻的命题。几年后，艾伦·图灵等人进一步发展了哥德尔的理论，证明数学中充满了“不可判定”的命题，这些问题无法通过任何计算机算法求解。
这些成果表明，证明和计算有其根本的局限性。某些数学问题，注定永远无法得知答案。
希尔伯特的梦想看似破灭了，但它依然以片段的形式存在于许多问题之中。希尔伯特的第十问题就是其中之一。这个问题涉及到丢番图方程：一些具有整数系数的多项式方程，例如x² + y² = 5。这些方程是数学研究中最核心的对象之一，数千年来，数学家们一直在寻求整数解。例如，x = 1, y = 2(因为1² + 2² = 5)就是一个解。
然而，像x² + y² = 3这样的方程没有整数解。希尔伯特第十问题就是问，是否总能判断一个丢番图方程是否有整数解？是否存在一种算法，能够对每个方程进行判定，还是这个问题本质上是不可判定的？虽然可能没有办法为所有数学问题，甚至希尔伯特的23个问题提供一个完整系统的解答，但也许对于丢番图方程，还是有可能找到一个解法，这似乎为希尔伯特的原始愿景提供了一个缩影。
然而，1970年，俄国数学家尤里·马季亚谢维奇摧毁了这一梦想。他证明了没有任何通用算法可以判断一个丢番图方程是否有整数解，也就是说，希尔伯特的第十问题是不可判定的。你或许能提出一个算法来判断大多数方程，但它并不适用于所有方程。
即使在最简单的数学领域，不可知性依然存在。
数学家们想要测试马季亚谢维奇结论的适用范围。如果你允许丢番图方程具有复数解(既有实数部分，也有虚数部分的数)，在这种情况下，每个丢番图方程都有解，希尔伯特第十问题的答案是肯定的。但在一些特殊的丢番图方程中，解是复数而非整数，“它对于整数不可解，但在更大的数系中却会突然变得可解，”哈佛大学的巴里·马祖尔说道。“那么，‘分界线’在哪里呢？”
在过去50年里，数学家们一直在寻找这个“分界线”。如今，科尔多瓦大学的卡洛·帕加诺和乌特勒支大学的彼得·科伊曼斯与另一组独立研究者，已经向这一目标迈出了重要一步。这两组数学家证明，对于一个庞大且重要的数系集合，依然没有任何通用算法能够判断丢番图方程是否有解。
新证据不仅让数学家们对“能知道什么”和“不能知道什么”有了更加清晰的认识，也为他们提供了前所未有的控制力，让他们能够更加精准地研究这一数学核心问题。
接下来，数学家们希望能继续拓展这种思路，探索其他数学问题的新解法。
这次的研究集中在希尔伯特第十问题的自然扩展上，涉及那些其解属于与整数相近的数系的丢番图方程。
如果你从数字1和-1出发，你可以通过它们的不同组合得到所有其他的整数。但假设你从一个不同的有限集合开始，例如1，-1和√2。通过这些数的不同组合，你会得到一个新的数系，称为整数环(尽管这个环不一定只包含整数)。其他的整数环也可以通过包含某些数的集合构造出来，比如虚数单位√-1(数学中称之为i)，或者2的立方根。是否存在一个算法，能够总是判断给定的丢番图方程是否有解，而这些解属于这些整数环之一？
数学家们推测，对于每一个整数环，也就是说，对于无限多的数系，问题依然是不可判定的。这个结论将把希尔伯特第十问题的范围从原本只考虑整数解的限制，扩展到更加广阔的领域。
为了证明这一点，数学家们试图沿用最初问题的证明方法，也就是只涉及整数解的情况。
一般来说，不可判定性证明遵循一个共同的思路，也就是判断是否存在通用算法来解决某个问题：它们会表明，当前的数学问题与计算机科学中一个著名的不可判定问题(停机问题)是等价的。停机问题是问，给定一个理想化的计算设备(图灵机)输入某个特定数据时，它是否会永远运行下去，还是最终会停下来。已知没有任何算法能够为所有图灵机回答这个问题。
其实，我们也可以把丢番图方程看作是一种计算设备。比如方程y = x²。它有无数个整数解。如果你代入不同的整数值来求解y，得到的数值都属于一个著名的整数集合完全平方数。可以想象，有一个计算机程序(即图灵机)执行的任务就是“计算完全平方数的序列”。
其他的丢番图方程也可以对应其他类型的计算。
为了求解希尔伯特的第十问题，数学家们就是建立了这样的联系。20世纪50年代，朱莉娅·罗宾逊和其他数学家开始了这项工作，最终由马季亚谢维奇于1970年完成。研究表明，每一个图灵机都有一个对应的丢番图方程。“这一发现完全出乎意料，”智利圣地亚哥的天主教大学的赫克托·帕斯滕说。“整数上的丢番图方程几乎能定义任何你能想象到的事物。”
此外，数学家们还设立了一个巧妙的对应关系，确保如果一个图灵机对于给定输入停止运行，那么其对应的丢番图方程就会有整数解；如果图灵机永远运行下去，那么其对应的丢番图方程就没有解。也就是说，希尔伯特第十问题实际上编码了停机问题：一个能够按照是否有整数解来排序丢番图方程的算法，实际上也能根据是否停机来排序图灵机。
简而言之，希尔伯特第十问题是不可判定的。
数学家们希望采用相同的方式，证明扩展版的“整数环”版本的问题，但是他们遇到了一些困难。
困境出现
当丢番图方程允许有非整数解时，图灵机与丢番图方程之间的有用对应关系就不再成立了。例如，假设我们再次考虑方程y = x²。如果你在包含√2的整数环中工作，那么你就会得到一些新的解，如x = √2，y = 2。此时，该方程就不再对应计算完全平方数的图灵机，而一般来说，丢番图方程也无法再编码停机问题。
然而，在1988年，纽约大学的研究生萨沙·施拉潘托赫开始探索如何绕过这个问题。到2000年，她和其他数学家制定了一个计划。假设你在方程y = x²中加入一些附加项，这些附加项能神奇地迫使x再次成为整数，即使在一个不同的数系中。这样你就能够恢复与图灵机的对应关系。那么，是否可以为所有丢番图方程做同样的处理呢？如果可以，这意味着希尔伯特的问题能够在新的数系中编码停机问题。
多年来，施拉潘托赫和其他数学家逐步找出了哪些附加项能加到丢番图方程中，适用于各种类型的数环，这使他们能够证明希尔伯特问题在这些设置下依然不可判定。接着，他们将所有剩余的整数环简化为一种情况：涉及虚数i的环。数学家们意识到，在这种情况下，他们所需要添加的项可以通过一种特殊的方程(椭圆曲线)来确定。
但椭圆曲线必须满足两个条件。首先，它必须有无穷多个解。其次，如果你切换到另一个整数环(也就是如果你从数系中去掉虚数)，那么椭圆曲线的所有解必须保持相同的结构。
事实上，构建一个满足所有剩余条件的椭圆曲线是非常微妙且困难的任务。但科伊曼斯和帕加诺正好具备了解决这个问题所需的工具。
不眠之夜
自从本科阶段起，科伊曼斯就一直在思考希尔伯特的第十问题。在研究生阶段，与帕加诺的合作中，他一直未能放下这个难题。“每年我都会花几天时间思考这个问题，然后彻底卡壳。”科伊曼斯回忆道。“我尝试了三种方法，但它们都失败了。”
2022年，科伊曼斯和帕加诺在加拿大班夫的一次会议上聊起了这个问题。他们希望通过合作，能构建出解决问题所需的特殊椭圆曲线。完成一些其他项目后，他们开始了这项工作。
他们从一个简单的椭圆曲线方程入手，虽然它并不满足任何一个条件，但他们知道可以通过一种已知的技巧(二次扭曲)对方程进行调整，使其符合第一个条件。只需将方程中的一个变量乘以特定的数字，他们就能得到一个具有无穷多个解的新的椭圆曲线。
但这时他们遇到了问题。他们无法保证新曲线满足第二个条件，它的解是否在移除虚数后仍然呈现相同的结构。数学家们需要更好地控制二次扭曲。
他们陷入了困境。“我有一种阴沉的感觉，”科伊曼斯说。“我开始怀疑我们遗漏了什么。”
然后，在2024年夏天，当他们正在处理另一个问题时，科伊曼斯突然发现了一个重要的线索，一种意外且惊人的数学巧合：如果他们在二次扭曲中使用的数字是恰好由三种素数相乘得到的，他们就能确保满足第二个条件。但由于椭圆曲线的构建非常复杂，满足这些条件的素数组合数量庞大，且不同的数系可能需要不同的素数组合。那么，科伊曼斯和帕加诺能否找到适用于所有数系的素数呢？
幸运的是，帕加诺随后计划访问科伊曼斯所在的苏黎世联邦理工大学，两人又开始了激烈的头脑风暴，几天后，他们终于找到了解决的办法：他们需要用四个素数，而不是三个，来构建他们的二次扭曲。这样，他们就可以应用一个来自数学其他领域的技巧(加法组合学)，确保适当的素数组合存在于每个环中。
这终于解决了问题：他们构建的椭圆曲线满足了所有的条件，从而为丢番图方程的扩展版本提供了一个解。这一研究为希尔伯特第十问题的不可判定性提供了进一步的证明。
最终确认
2024年最后一个星期四，科伊曼斯和帕加诺发布了他们的论文不到两个月后，另一组独立数学家也发布了相同结论的新证明。尽管他们并没有使用椭圆曲线，而是采用了不同类型的方程来完成同样的任务。
两组研究者都希望利用他们的新技术，在其他数学问题上也能取得进展。“这两种方法可能会结合在一起，取得更大的突破，”普林斯顿大学的数学家曼朱尔·巴尔加瓦说，他是第二个证明的合著者之一。
然而，寻找不可判定性与可判定性之间的界限仍在继续。数学家们仍然希望进一步拓展这个领域，带来更多的奇迹。
本文译自 Quanta Magazine，由BALI编辑发布。
