病故抚恤金不可以继承。病故抚恤金是发给死者家属的费用，用于对死者家属的精神慰藉和经济补偿，其性质并不属于死者生前的个人财产或遗产。遗嘱中所处分的财产须为遗嘱人的个人财产，而抚恤金不属于遗嘱人的个人财产，因此不能通过遗嘱进行处分。

病故抚恤金虽然不可以继承，但可以按照法定继承的顺序在死者近亲和家属之间进行分配。抚恤金的分配虽然不按照遗产继承的方式进行，但通常会参照遗产继承的顺序，即第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。具体的分配比例和方式，一般由当事人协商解决。如果协商不成，可以向法院起诉，法院会依据均等分割原则，并结合各近亲属的生活条件、跟死者的关系远近、生活紧密程度等因素考量如何分配。

抚恤金领取国家没有统一的时间限制，一般为死亡登记之后一年，但具体的领取流程和时间可以咨询当地社保部门。

法律依据：

《中华人民共和国社会保险法》第17条：参加基本养老保险的个人，因病或者非因工死亡的，其遗属可以领取丧葬补助金和抚恤金。

《中华人民共和国民法典》第1122条：遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产。由于抚恤金并非死者生前即享有的财物，而是直接发放给死者家属的，因此不符合法律对遗产的定义。