生活中遇见的三角数

1672年，莱布尼茨的好友惠更斯正同别人进行一场数学竞赛，题目如下：

求三角数1，3，6，10，...，½n(n+1)...的倒数和。

第一个三角数是1，第二个三角数是1+2=3，第三个是1+2+3=6，通项公式是aₙ=½n(n+1).题目问的是三角数的倒数怎么求和。

莱布尼茨知道后觉得题目很有意思，两天之后，他给出了一个极巧妙的解法。

在揭晓答案之前，让我们先从一道小学数学题谈起。

计算：

本题很简单，可以看作下图。

小学生可以用数形结合的解法，直观易懂。

也可以用代数解法。

设S=(1)式，则有(2)式。(2)-(1)因为相同项抵消就只剩下首尾两项，即得到(3)式。

本题结论可以推广到2的n次幂的倒数。

如果学过等比数列，可以用公式直接写出本题答案。

如果题目是无限级数，则有以下结论：

接下来请看莱布尼茨的巧妙解法。“17世纪的亚里士多德”独具慧眼，巧妙地把未知的三角数倒数和转化为熟悉的2的n次幂倒数和。

所以，数学竞赛题的答案是2.

莱布尼茨对单位分数的性质有精深的研究，古代中国有贾宪三角形，西方有帕斯卡三角形，莱布尼茨三角形了解一下。

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文中配图有11层高的莱布尼茨三角形。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。