典型结论

将△ABC纸片沿DE折叠，折叠方式不同，得到以下几个不同的图形，但是∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．

（1）若折成图①，此时点A落在三角形的内部，求证：∠1+∠2=2∠A；

（2）若折成图②，此时点A落在三角形边BD上，求证：∠2=2∠A；

（3）若折成图③，此时点A落在三角形边CE上，求证：∠1=2∠A；

（4）若折成图④，此时点A落在三角形的外部，求证：∠2-∠1=2∠A；

（3）若折成图⑤，此时点A落在三角形的外部，求证：∠1-∠2=2∠A；

证明思路

1.点A落在三角形的内部

证明：

∵2∠ADE+∠1=180°

2∠AED+∠2=180°

∴2(∠ADE+∠AED)+∠1+∠2=360°

又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°

∴2（180°-∠A）+ ∠1+∠2=360°

即∠1+∠2=2∠A

2.点A落在三角形边BD上

证明：

∵2∠ADE=180°

2∠AED+∠2=180°

∴2 (∠ADE+∠AED) +∠2=360°

又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°

∴2（180°-∠A）+∠2=360°

即∠2=2∠A

3.点A落在三角形边CE上

证明：

∵2∠AED=180°

2∠ADE+∠1=180°

∴2 (∠ADE+∠AED) +∠1=360°

又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°

∴2（180°-∠A）+∠1=360°

即∠1=2∠A

4.点A落在三角形的外部

证明：

∵2∠ADE-∠1=180°

2∠AED+∠2=180°

∴2 (∠ADE+∠AED)- ∠1+∠2=360°

又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°

∴2（180°-∠A）-∠1+∠2=360°

即∠2-∠1=2∠A

5.点A落在三角形的外部

证明：

∵2∠ADE+∠1=180°

2∠AED-∠2=180°

∴2 (∠ADE+∠AED)+ ∠1-∠2=360°

又∵∠ADE+∠AED+∠A=180°

∴2（180°-∠A）+ ∠1-∠2=360°

即∠1-∠2=2∠A

总结