1984年洛杉矶奥运会开幕式
因式分解是初中数学的重要基本功，方法也是多种多样的。例如，提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等等。本文主题是介绍一种常用的，独具魅力，多姿多彩，灵活多变的方法，即拆项添项法。这类题目对于培养初中同学的思维灵活性是大有裨益的。
下面这一道例题，我们用一题九解的方式展现拆项添项法灵活多变的特点，让因式分解不再难分难解。
题目呈现：(例题)对y³+3y²-4分解因式.
拆项法
解1. (拆二次项)
原式=y³+2y²+y²-4
=y²(y+2)+(y+2)(y-2)
=(y+2)(y²+y-2)
=(y+2)(y+2)(y-1)
=(y+2)²(y-1)
提取公因式后，剩下的都扔进括号。二次三项式可以这样分解：
ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)；
或者利用公式：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
解2.(仍拆二次项)
原式=y³-y²+4y²-4
=y²(y-1)+4(y-1)(y+1)
=(y-1)(y²+4y+4)
=(y-1)(y+2)²
利用拆项的技巧，提取公因式后凑成完全平方式，顺利得到答案。
解3.(拆常数项)
原式=y³+3y²-3-1
=(y³-1)+3(y²-1)
=(y-1)(y²+y+1)+3(y-1)(y+1)
=(y-1)(y²+4y+4)
=(y-1)(y+2)²
拆项后运用了分组分解法，公式法和提公因式法，最后再次运用公式法得到答案。
公式法用到了我们熟悉的完全平方公式和立方差公式。
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
上面的公式从左到右是乘法公式，从右到左是因式分解公式。
解4.(仍拆常数项)
原式=y³+3y²-8-12
=(y³+8)+(3y²-12)
=(y+2)(y²-2y+4)+3(y+2)(y-2)
=(y+2)(y²+y-2)
=(y+2)²(y-1)
这个解法用到了立方和公式：
(a+b)(a²-ab+b²)= a³+b³
解5.(拆三次项)
原式=4y³-3y³+3y²-4
=(4y³-4)-(3y³-3y²)
=4(y³-1)-3y²(y-1)
=4(y-1)(y²+y-1)-3y²(y-1)
=(y-1)(y²+4y+4)
=(y-1)(y+2)²
接下来请看添项法。
解6.(添一次项)
原式=y³+3y²+4y-4y-4
=y(y²+3y-4)+4(y-1)
=y(y+4)(y-1)+4(y-1)
=(y-1)(y²+4y+4)
=(y-1)(y+2)²
添项后为分组分解法创造了条件。不具备条件时巧借巧还创造条件，让因式分解不再难分难解。
解7.(仍添一次项)
原式=y³+3y²+2y-2y-4
=y(y²+3y+2)-2(y+2)
=y(y+2)(y+1)-2(y+2)
=(y+2)(y²+y-2)
=(y+2)²(y-1)
添一次项容易想到，接下来的添四次项不容易发现。
解8.(添四次项)
原式=y⁴+y³+3y²-y⁴-4
=(y⁴+3y²-4)-(y⁴+y³)
=(y²+4)(y²-1)-y³(y-1)
=(y²+4)(y+1)(y-1)-y³(y-1)
=(y-1)(y³+y²+4y+4-y³)
=(y-1)(y+2)²
这个解法蕴含着换元法的思想。y⁴+3y²-4可以设y²=x，看作x²+3x-4，两根是-4和1，故可以分解成(y²+4)(y²-1)。接下来利用公式恒等变形，提公因式，答案就水落石出。
最后一种解法即将登场。
既拆项又添项
解9.(添一次项拆二次项)
原式=y³-y²+4y²-4y+4y-4
=y²(y-1)+4y(y-1)+4(y-1)
=(y-1)(y²+4y+4)
=(y-1)(y+2)²
既拆项又添项之后，为下一步提取公因式创造了条件。这个解题思路还是颇为巧妙的。
布置课堂作业
与例题类似，可用多种方法拆项添项来分解因式的题目有很多，下列几题供同学们练习。
分解因式：
(1) x³+6x²+11x+6；
(2) 6-11a+6a²-a³；
(3) x³-9ax²+27a²x-26a³.
题目回顾
把例题改写成三次方程就是：
y³+3y²-4=0
根据代数基本定理，这个方程有3个根。根据以上解题过程可知，方程有3个实根，两个重根-2以及1.
由以上分析可知，函数f(x)=x³+3x²-4的图象与x轴有两个交点。在x=-2处与x轴相切，在x=1处与x轴相交。
手工绘制函数图象的话，需要列表，描点，连线等步骤。软件绘图比较方便。请看微软数学绘制的函数图象：
三次函数图象
除了以上方法，还有没有其他方法把例题分解因式呢？
办法是肯定有的，下面再举个例子。容易看出例题有一个实数根1，所以y-1一定是例题的一个因式。于是，通过多项式除法能够得到答案。具体过程请看下图。
第一次多项式除法
再一次做多项式除法就得到最终答案了。
最后一行就是答案
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
