发现非欧几何的荣誉归属于两个人∶就是匈牙利人波尔约和俄罗斯人罗巴切夫斯基。他们互相独立地对这门学科做了非常相似的研究。特别是两人都既在2维情况也在3维情况描述了一个异于欧几里得几何学。罗巴切夫斯基的结果先在1829年发表在一个很少为人所知的俄罗斯刊物上，1837年又用法文发表，1840年用德文发表，最后在1855年再用法文发表。波尔约则在1831年把自己的论文以附录的形式发表在他父亲写的一本两卷集的几何书里面。

把他们的成就放在一起来讲最容易。两人都以一种新奇的方式来定义平行线如下∶给定一点P和一条直线m，则经过P的直线中，有一些与m相交，有一些则不相交。把这两个集合分开的有两条过P的直线，它们并不怎么与m相交，但是这两条直线一条从P向右、一条向左地任意接近于m。它们就是下图中的直线n'和n"。

直线n’和n”把经过P而与直线m相交或不相交的直线分离开

罗巴切夫斯基就把这两条界限称为经过点P的对直线m的平行线。这个定义见于他1840年写的一本小册子里。其实，这两条界限之间的所有直线也都经过点P而与直线m不相交。

在这样的讨论中，仍然可以定义从点P向直线m所作的垂线。向左和向右的两条平行线（即n'和n"）与这条垂线成等角，称为平行角。如果此角为直角，则得欧几里得几何学。然而，如果它小于直角，就有可能出现新几何学了。结果是这个角的大小依赖于从点P到直线m的垂线的长度。波尔约和罗巴切夫斯基都没有费心思去证明平行角小于直角不会引起矛盾。相反，他们都假设不会有矛盾，然后用很大力量来从垂线的长度求平行角的大小。

他们都证明了∶给定一族（指向同一方向的）平行线，并在其中某一直线上指定一点，必可经过此点作一条垂直于所有这些直线的曲线。

垂直于一族平行线的曲线

在欧几里得几何学中，这条曲线是一直线，它与族中所有平行线都垂直，而且通过此点。如果还是在欧几里得几何中，但取一族通过公共点Q的直线，并取另一点P，则过P而与所有这些直线垂直的曲线就是以Q为圆心并通过P 的圆。

垂直于欧几里得平行线的曲线

波尔约和罗巴切夫斯基定义的这些曲线与上面两种欧几里得作图有类似之点∶它正交于所有这些平行线，但它是弯曲的而不是直的。波尔约称此曲线为 L 曲线，而罗巴切夫斯基称之为极限圆（horocycle），这个名词更有帮助，而且一直使用至今。

垂直于通过一点的欧几里得直线的曲线

他们的复杂论证把二人引入了3维几何学。在此，罗巴切夫斯基的论据比波尔约更清楚一点，二人都明显超过了高斯。如果把定义极限圆的图形绕平行线之一旋转，这些直线就会变成3维空间的平行线族，而极限圆则扫出一个杯形的曲面，波尔约称它为F曲面，而罗巴切夫斯基则称它为极限球（horosphere）。他们都表明了会发生值得注意的事情。穿过极限球的平面会切出一个圆，或者切出一个极限圆，而若在极限球面上作以极限圆为边的三角形，则三内角之和等于两直角。换一个说法，虽然包含极限球的空间是场合L的3维版本，所以肯定是非欧几里得的，但是，如果限制极限球面，却会得到2维的欧几里得几何学。

波尔约和罗巴切夫斯基也知道在他们的3维空间里也可以做球，而且证明了球面几何学的公式仍然成立，而与平行线公设无关（虽然在这方面，他们不是那么有独创性）。罗巴切夫斯基选择用一个与他的平行线有关的非常聪明的做法证明了球面上的一个三角形必决定了平面上的一个三角形，而且也被此平面三角形所决定；反过来，平面上的一个三角形也决定了球面上的一个三角形，而且也被此球面三角形所决定。这意味着球面几何学的公式必定决定了可以用于极限球面的三角形的公式。罗巴切夫斯基在检验其细节时，证明了极限球面上的三角形可以用双曲三角学的公式来描述，波尔约也多少做到了这一点。

分别是高斯、波尔约和罗巴契夫斯基

球面三角形的公式依赖于所说的球的半径。类似地，双曲三角形的公式也必依赖于一个实参数。然而，这个参数没有清晰的几何解释。虽然有这个缺点，这些公式有一些性质能帮助我们再次确认一些事情。例如，当三角形的边长很小的时候，它们都很接近我们熟知的平面几何的公式，这就有助于解释何以这些公式那么长时间都没有被发现———它们在空间的小区域里与欧几里得几何学相差极小。

可以在这个新背景下给出长度与面积的公式，这些公式表明三角形的面积正比于三角形的内角和与两直角之差有多少。特别是，罗巴切夫斯基感觉到接受这种新几何学的充分的理由在于∶有这一类可信的公式存在。在他看来，所有的几何学都是讲量度的，而各个几何定理就是要把这些量度之间的可靠的联系用公式表示出来。他的方法既然给出了这种公式，在他看来，作为这种新几何学存在的充分理由也就够了。

波尔约和罗巴切夫斯基既然提出了一种新奇的3维几何学，于是也就提出了一个问题∶哪一种几何学是真的？是欧几里得几何学，还是其中含有参数的某个值的新几何学，而这个参数值推测是可以通过实验来确定的？至此，波尔约把问题丢下来就算完了，但是罗巴切夫斯基则明确地表示，这个问题可以通过量度星座的视差来解决。在此，他也没有成功，因为这个实验是出了名的细致。

总的说来，对于波尔约和罗巴切夫斯基的思想的反应，在他们在世时，就是蔑视和敌意，他们本人也没有预见到自己的发现最终会取得的成功。波尔约和他的父亲把他们的工作寄给高斯。但是高斯在1832年回信则说，他不能赞扬这一工作。 因为“赞扬它，就是在赞扬我自己”，（高斯的意思是说他本人早就得到了这样的结果），这还不够，高斯还加上了他对于小波尔约在文章开始处的结果给出了更简单的证明。然而他说，他很高兴，因为是自己的老朋友的儿子超过了他。小波尔约对此勃然大怒，而且拒绝再发表自己的工作，这样，他就剥夺了自己通过在数学刊物上发表来保证自己的优先权的机会。奇怪的是，没有任何证据表明高斯事先就已知道年轻的匈牙利人的工作的细节。很可能是高斯看到了波尔约的论著的开头就知道它下一步会怎么走。

对于现存的证据的比较宽容的解释是∶在19世纪30年代，高斯就已经相信，物理空间有可能用非欧几何来描述，他肯定知道怎样用双曲三角形来掌握2维的非欧几何（虽然他没有留下任何详细的讨论）。但是3维情况首先是波尔约和罗巴切夫斯基知道，而高斯是在读了他们的研究以后才知道的。

奥斯特罗格拉茨基

罗巴切夫斯基的遭遇比波尔约稍好一点。他的最早的文章是被奥斯特罗格拉茨基挽救了，这是一位比他地位更高的人物，而且是在圣·彼得堡的数学家，而罗巴切夫斯基则是在外省的喀山。他发表在德国的《纯粹与应用数学杂志》上的文章令人伤心地又多次引用了用俄文发表的文章，此文就是由这些俄文的文章改写的。他在1840年的一本小书只得到一篇书评，书评的愚蠢实在超过一般。罗巴切夫斯基把这本小书送给了高斯，高斯认为十分出色，并且安排把罗巴切夫斯基选入哥廷根科学院。但是，高斯的热情也就到此为止，以后罗巴切夫斯基再也没有得到过高斯的支持。

对于重大发现的如此可怕的回应，自然引起了各个层次上的分析。应该说，这两人所依赖的平行线的定义，就其实际状况来说都是不充分的，但是对他们的工作的批评并不在此，而是轻蔑地把他们打发了，好像他们是不言而喻地就是错了，错到根本不值得花功夫来找出其中一定会有的错误，错到正当的回应就只应该是把嘲笑堆在作者头上，或者置之不理，不加评论。倒是可以借此来衡量欧几里得几何学对当时的人们的思想掌控的程度，甚至哥白尼学说和伽利略的发现，从当时的专家那里，也得到了更好的待遇。