已知半圆直径为128，AC是角平分线求线段AD长的两种方法

问题由来：

已知半圆的直径为AB，其长度为128，AC=92，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

主要内容：

本文采用两种方法，一是利用角平分线、正弦定理与长度关系，二是利用角平分线、正弦定理与长度关系，介绍已知半圆的直径为AB，其长度为128，AC=92，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

※.角度余弦值关系计算求解

[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。

如上图所示，设圆的半径为R，即R=AB/2=64,

在△AOD中，AO=OD=R=64,

由余弦定理有：

AD=2AM=2*Rcos2a=2*64cos2a=128cos2a…….(1)

在三角形AOC中，由余弦定理有：

AC=2*AN=2*Rcosa=128*cosa,

即：128cosa=92,

所以：cosa=23/32.

代入方程(1)中，有：

AD=128cos2a=128*(2cos ²a-1),

=128*[2*(23/32) ²-1],

=17/4.

※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解

[主要思路]：本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理，并根据角a的余弦值，以及长度关系，来求解计算所求线段的长度。

如上图所示，设AD=x，OD与AC的交点为P，设DP=y，则OP=R-y，

即OP=64-y，在三角形△AOD中，AP是角平分线，由平分线定理可得：

OP/PD=AO/AD,

则：(64-y)/y=R/x，化简为：

x=64y/(64-y),……(1).

进一步由正弦定理可得：

DP/sina=AD/sin∠APD,

即：y/sina=x/sin3a，化简为：y(3-4sin²a)=x,……(2),

在△AOC中，可求出cosa=23/32，

则：sin²a=495/1024……(3),

将(3)代入(2)可知：

y=256x/273,

再代入(1)可知：

x=64*(256x/273)/[64-(256x/273)],

化简可得;

256x/273=64 *17/273,

所以：x=17/4.