难题
美索不达米亚的书吏使用楔形文字和六十进制在泥板上书写。这种记数系统有两个不足之处：没有零和小数点。
举个例子，把六十进制转换为十进制，无论是12，120，1200，1.2，0.0012，这些数的书写方式全都一样，都写作12.
换成我们会陷入一片混乱！而书吏们没有发明零和小数点，不得不面对一个严重的问题：在他们的系统中，不同的数可以共享相同的书写方式。
他们用这些数创造了一系列奇迹：异常高效的管理，极为精确的建筑数据和地形测量，准确性令人惊叹的天文观测和天体现象描述，随着美索不达米亚文明一同消失，直到千年之后才被重新发现的抽象数学知识。可以说，零和小数点的缺席并没有真正阻挡他们前进的步伐。
书吏用一种超乎寻常的技巧摆脱了困境。因为这个问题不仅没有妨碍他们，还成了他们的一个过人之处！通过一种简单而绝妙的想法，这种记数方式的含混不清之处反而让书吏们得以利用乘法的特性。
假设你是一个书吏学生，你拿起一块新鲜的泥板和一支芦苇笔，老师让你做以下乘法：12×8
你用楔形文字把算式写在泥板上，然后开始思考。因为记数系统很含混，你不清楚12和8的值是多少？也许12是120，或1200，甚至是0.12，而8呢？可能是8、80、或0.8......通过添加小数点和零，就会有无数种可以用来阐释这个乘法算式的方法。而你呢，你的任务就是得出结果。
在此前提下，在这似乎是一项无法完成的任务。但是，一个数学奇迹出现了。请看以下几种可能的结果：
12×8=96
120×8=960
1200×8=9600
1.2×80=96
0.12×0.8=0.096
以上算式有4种不同的结果。在没有零和小数点的情况下，所有这些答案都会写成96——不可能写错，因为答案就是96，无论这个96表示的是什么。
这就是数学既令人困惑又令人震撼的长处之一：有时候，它可以说出正确的事情而人们不必知道说的是什么。
书吏们虽然并不知道自己所写的是哪个数，但是他们的结果总是正确的。
利用数学的这一特性，美索不达米亚人发现了在很多个世纪之后科学家所称的不变量。不变量在很多科学领域都会出现，在数学研究中，我们还会碰到很多其他的不变量。
有人说，数学是上帝交给脆弱人类的最伟大的接力棒。现在，接力棒从巴比伦传到了苏格兰。
1550年，约翰·纳皮尔（ John Napier )①就出生在墨奇斯顿城堡（图1.16),他的名字被冠在一所大学和一种彻底改变了科学的数学运算之上。
约翰·纳皮尔是一个奇异的人物。就像那个时代的许多学者一样，他涉猎各类学科，从神学到天文学，还有数学。关于他，坊间流传着一件逸事，尽管跟数学没有什么关系，却可以让我们从中窥见几分他的性格。
纳皮尔有个叫罗斯林(Roslin）的邻居，邻居养的鸽子每天飞到纳皮尔的院子里吃谷粒。纳皮尔很生气，警告邻居说，如果管不住这些鸟，他就要直接把它们没收了。那个叫罗斯林的人对他嗤之以鼻，说他尽管可以去追捕那些鸽子。第二天早上，邻居惊讶地看到这位数学家手里拿着个大袋子，正轻而易举地捉着他所有的鸽子，而那些鸽子甚至都没有挣扎着逃走。头天晚上，纳皮尔在自家院子里撒满了浸泡过白兰地的谷粒。到了早晨，吃了谷粒的鸽子全都酩酊大醉，无法飞翔，一只只束手就擒。
这个故事很可能只是传闻，但它告诉我们一件事：纳皮尔擅长用意想不到的办法去解决问题。有时候，你只需要改变视角就能找到解决办法。如果找到了正确的视角，最棘手的情况也会变得易如反掌。如果你不如鸽子灵巧，那就让鸽子变得不如你灵巧。解决重大问题并不总是得更聪明、更强大或更迅速。最重要的是找到窍门。
纳皮尔后来把这种出其不意的思维方式用在了数学上：他发明了一种革命性的绝妙运算。这种运算将令几代科学人的生活更加便利，直至20世纪末。这种运算能够将乘法变成加法。(除法变成减法，乘方变成乘法，开方变成除法)
为此，他想到把一根乘法轴和一根加法轴平行放置。在乘法轴上，每个分度对应前一个分度乘以2；在加法轴上，每个分度对应前一个分度加1（图1.17)。
图1.17
通过这种平行对照，这位苏格兰数学家在加法世界和乘法世界之间架起了一座桥梁。借助这一简单的图表，从加法穿梭到乘法的旅行在一瞬间成为可能，两者之间的界限突然消失了。顶部的8对应底部的3，底部的5对应顶部的32，依此类推。而顶部的乘法则对应底部的加法。
为了让你能够清楚地理解这一原理，我们来举个例子。假设你想进行8×16的乘法运算，那么算法就是下面这个样子。
1．把这个算法带入加法的世界：8×16变成了3+4;
2．计算：3+4=7;
3．把你的结果重新带回乘法的世界：7变成了128。
你得到的结果是：8x16=128。从图上来看，推理过程遵循的是以下路径（图1.18)。
图1.18
这看起来就像是魔术！这种简单的匹配似乎完美得不像是真的，但效果却很好。8和16没有什么特别之处，你可以用其他数试一试，约翰·纳皮尔的方法适用于所有的乘法计算。
那么当然了，这个例子是最基本的示例，因为8和16是很简单的数。但假设你要对复杂得多的数进行乘法运算，比如2.43乘78.35。再假设你的书桌上放着一本加法／乘法对照表，这本对照表远比我们在上文中画的那两根轴要完整得多。通过在表中查找数，你把乘法2.43×78.35变成了加法1.281+6.292。你在几秒之内算出了和：7.573。然后，你把这个结果带回到乘法中，积约为：190.4。你刚刚在不到30秒里完成了乘法运算。如果没有这本目录，你很可能需要一分多钟才能得出乘法的结果。
纳皮尔花了二十多年才发展出这一理论并制定出加法／乘法表。他当然是在没有计算器的情况下进行的。所有的计算都是他手工完成的。他在1614年发表了一部名为《奇妙的对数表的描述》( Mirifici logarithmorum canonis descriptio ）的作品，并借机发明了"对数"①这个词，用来指称乘法世界和加法世界之间的那座桥梁。更确切地说，对数是从乘法轴到加法轴的通道：8的对数是3,而16的对数是4，依此类推。
纳皮尔在书的前半部分介绍了这一理论，详细说明了对数的定义及其数学特性，而后半部分则完全由所占篇幅达近百页的数字表构成。这些数字表是对数表，也就是你计算所需的加法／乘法对照表。纳皮尔在第一个版本中罗列了5400个数。你在寻找某个对数吗？你只需翻看这些纸页就能在几秒内找到它。
老实说，我们必须承认，使用纳皮尔对数表获得的结果只是近似值，因为它给出的对数只精确到小数点后三或四位。如果你想获得误
①这个词是由意为"关系"的希腊语词根"λογoζ"(lógos)和意为"数字"的希腊语词根"αριθμοζ"(arithmos)构成的。
差范围更小的结果，这就会是个问题。但对于当时大部分天文学或建筑学中的计算来说，这个精确度已经绰绰有余。
但是，至于这个对数表能否良好运转，可能会有人提出异议，因为数存在无限性。不过，无论纳皮尔的对数表有多么可观，它都无法囊括数量无限的对数﹣﹣对数表被限制在一定数量的纸页内，并在某处打住。因此，这种方法似乎不可能涵盖所有可能的和可以想见的乘法。
其实，这是有可能的。就在此时，美索不达米亚书吏们那引人人胜的不变量冲破时间的暗夜，回到了舞台上。想要完成所有的乘法运算，你并不需要所有数的对数。比如，你只需要知道1到1000的所有对数就足够了，然后抛却零和小数点进行计算。
假设你需要对1.28和2500做乘法。把零和小数点去掉，这两个数就可以进入你的对数表所覆盖的范围之内，变成128和25。现在，你可以使用对数表来查找乘法的运算结果：32（依然没有零和小数点）。然后，你只需要判断结果的数量级，就可以把小数点和零放在正确的位置上了。1.28×2500=3200。只要稍加练习，这种技术就能让你在片刻之间完成所有的乘法。
在计算机和电子计算器的时代，似乎很难想象对数在纳皮尔那个时代产生的影响。对我们而言，加法和乘法之间的这座桥梁可能很稀罕，它是一种看待事物的方式，非常有趣，甚至很有启发性，但没有太大的意义。然而，在问世之后的几年中，这些对数表以极快的速度在整个科学界传播开来，并成为各个领域学者的主要工具之一。这些对数表还被科学界以外需要进行流水线式计算的众多行业的从业者所使用，比如建筑师、会计师和行政人员。直到20世纪下半叶，大多数小学生仍须把这些对数表带在书包里。
继纳皮尔之后，又有几位数学家着手计算并发布了更为精确和更为完整的对数表。卡米耶·布瓦尔（ Camille Bouvart ）和阿尔弗雷德·拉蒂尼（ Alfred Ratinet ）在19世纪末制定的新对数表有过70多个版本，并在不到一个世纪内成为数学史上最畅销的读物之一。
想要知道为什么这些新对数表会如此受欢迎，我们就必须认识到当时的科学家需要处理的海量计算。我所说的并不是需要长时间思考、需要一定程度创新和研究的智力型计算。不是那样的，我说的是蠢笨而惹人厌烦的计算。这些计算毫无挑战可言，你从一开始就知道怎么去做，但仍然需要耗费海量的时间。所有的数学家都知道如何计算2.35847×78.3564。没有任何悬念，但算式很长。如果你研究的是天文学，那你可能需要把数十种乃至数百种同类型的乘法运算串联起来，才能获得想要的结果。
今天，负责进行这些计算的是计算机。在纳皮尔的时代，一切都必须手动完成！计算得用纸和笔，有时会借助算盘。你可以想见对数表的出现可以让这些人节省多少时间。对数表使耗费一整天的烦琐计算减少到只需两或三小时成为可能！18世纪末，当时最伟大的数学家之一皮埃尔﹣西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)断言，对数让天文学家免于和冗长计算密不可分的错误和厌倦，从而在某种程度上使得他们的生命延长了一倍。
到了20世纪末，电子机器问世，对数最终失去了其首要的用途。而在今天，再也没有人会使用纳皮尔的对数表去进行冗长的计算了。
以上内容引自《数学的雨伞☂️下：理解世界的乐趣》，作者是[法国]米卡埃尔·洛奈。
现在我们探讨定位的奥妙。
先从简单的问题开始。我们知道：10×100=1000，100×10000=1000000.这种题目很简单，等式左边共有多少个零，右边就有同样多个零。进一步考虑，我们在纸上写下两个数列，即数列{a}和数列{b}。
{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}数列a是等差数列。
{...0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000...}数列b是等比数列，还可以改写成下面的形式：
{...,10⁻³,10⁻²,10⁻¹,10⁰,10¹,10²,10³,...}
这样就清楚地看到数列{a}和数列{b}存在一一对应的关系，数列a是数列b的指数。
根据幂的运算法则，aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
所以，数一数零的个数就可以正确定位了。
再看复杂一点的例题。3.7×4.3，如果去掉小数点，我们像书吏那样计算可以得到不变量1591，现在的问题是应该怎样定位？
口算三四一十二，答案应该是两位数，所以答案就是15.91.
再看一道题目，3.5×2.3。
不变量是805，怎么定位？显然是8.05。
观察这两道题目，我们发现个位数乘以个位数只有两种情况：乘积是个位数或者两位数。如果乘积的首位数小于两个乘数，那么乘积要进位进到十位；如果乘积的首位数大于两个乘数，那么乘积不进位，仍然是个位数。
再看复杂一点的例题。
0.00017×0.000203=？
像书吏一样计算，得到17×203=3451，问题来了，怎么定位？
0.00017×0.000203=0.00000003451
定位的奥妙就是等式左边零的数量等于右边的零的数量。
换一种写法可以看的更清楚。
1.7×10⁻⁴×2.03×10⁻⁴=3.451×10⁻⁸
再看一道题目：0.00025×64=？
先算25×64=25×8×8=200×8=1600，怎么定位？
因为25的小数点向左移动了5位，(64的小数点没有移动)，故答案的小数点应该也向左移动5位，所以答案就是：
0.016。
总结一下：
定义：什么是位数？
定位是个小问题。但若不仔细想，不寻根究底去问，就不能弄清楚。
在弄清定位规律的过程中，要提出问题，试验特例，形成猜想，约定表达方式，建立概念，证明结论，然后进一步提出更一般的问题。麻雀虽小，五脏俱全。问题是小问题，但思考的过程，却正反映了学习和研究数学的一般的方法。
以上内容引自《数学家的眼光》，作者是张景中先生。
