无穷原则要求我们假装一切都可以被无穷尽地切分，我们也已经看到了这样的概念非常有用。通过想象比萨可被切分成任意小的块，我们准确地求出了圆的面积。那么，问题随之而来：无穷小的东西在现实世界中是否存在呢？
对于这个问题，量子力学有一定的发言权。它是现代物理学的一个分支，描述的是大自然在其最小尺度上的行为方式。它是有史以来人类建立的最精确的物理学理论，并以怪诞性闻名。它的术语，以及包含轻子、夸克和中微子的粒子园，听起来就像刘易斯·卡罗尔［2].作品里的东西。量子力学描述的行为通常也很怪诞，在原子尺度上发生的事情，在宏观世界中可能永远也不会发生。
比如，我们可以从量子角度思考墙之谜。如果步行者是一个电子，那么它可能会穿墙而过。这种现象被称为量子隧穿效应，它的的确确会发生。经典物理学很难解释这种效应，而量子力学对它做出的解释是，电子可以用概率波来描述。概率波遵循薛定谔方程［3]，该方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年建立的。薛定谔方程的解表明，一小部分电子概率波会出现在难以逾越的障碍的另一边。这意味着在障碍的另一边探测到这个电子的概率尽管很小，但不为0,就像它穿过了那堵墙一样。在微积分的帮助下，我们可以计算出这种隧穿效应的发生率，实验也已经证实了这种预测。隧穿效应是真实存在的，比如 a 粒子会以预测的发生率穿透铀核，产生放射性效应。隧穿效应也在使太阳发光的核聚变过程中起到了重要作用，因此地球上的生命部分依赖于隧穿效应。此外，它还有许多技术用途，比如，科学家用来观测和操纵单个原子的扫描隧穿显微镜，正是建立在隧穿效应的基础之上。
我们对这类发生在原子尺度上的事件没有直观认识，因为我们是由几万亿个原子组成的庞大生物。幸运的是，微积分可以代替直观认识。通过应用微积分和量子力学，物理学家打开了微观世界的理论之窗，他们的洞见产生的成果包括激光、晶体管、计算机芯片和平板电视中的发光二极管（ LED )。
尽管量子力学的许多概念都很激进，但在薛定谔方程中，它保留了空间和时间具有连续性的传统假设。麦克斯韦在他的电磁理论中做出了相同的假设，牛顿的引力理论和爱因斯坦的相对论亦如此。因此，从微积分到理论物理学，它们都建立在空间和时间具有连续性的假设基础之上。到目前为止，这种假设一直非常成功。
但是，我们有理由认为，在宇宙的极小尺度（远小于原子尺度）上，空间和时间最终可能会失去它们的连续性。尽管我们不确定那里会是什么样子，但我们可以猜测一下。空间和时间可能会像芝诺的飞矢不动悖论设想的那样完全像素化，不过由于量子不确定性，它们更有可能退化为无序的混沌状态。在如此小的尺度上，空间和时间也可能会随机地涌动和翻腾，像泡沫一样起伏。
在这些极限尺度上应该如何设想空间和时间，尽管人们还未就此达成共识，但对于这些尺度可能会有多小，人们已经达成了一致意见。极限尺度是由自然界的三大基本常量决定的，我们无法左右。第一个是引力常量 G ，它衡量的是宇宙中的引力强度。它最早出现在牛顿的引力理论中，之后又出现在爱因斯坦的广义相对论中，未来也必定会出现在取代这两者的任何理论中。第二个常量h反映了量子效应的强度，它出现在海森伯的不确定性原理和薛定谔的量子力学波动方程中。第三个常量是光速 c ，它是宇宙的极限速度，任何一种信号的传播速度都无法超过 c 。这个速度必然会出现在所有的时空理论中，因为它通过距离等于速度乘以时间的原理把空间与时间联系在一起， c 就是其中的速度。
1899年，量子理论之父、德国物理学家马克斯．普朗克意识到，将这些基本常量组合起来得到长度尺度的方式有且仅有一种。普朗克推断出这个独一无二的长度就是宇宙的自然尺度，为了纪念他，我们现在称此长度为普朗克长度4]。它的公式是：
普朗克长度=
我们把 G 、h和 c 的测量值代入这个公式，可以算出普朗克长度约为10⁻³⁵米，这是一个非常小的距离，相当于质子直径的10²²分之一。普朗克时间是光经过这段距离所需的时间，大约是10⁻⁴³秒。这两个尺度就是极限尺度，在它们之下空间和时间将不再有意义。
这些数字限定了我们切分空间或时间的精细程度。为了感受我们在这里讨论的精密度有多高，可以想一想，如果进行一次你能想象到的最极端的比较，需要使用多少位数。用最大的可能距离（已知宇宙的估测直径）除以最小的可能距离（普朗克长度），这个异常极端的距离之比虽然只是一个60位数，但它是我们需要用到的距离之比中最大的一个。使用更多位数（比如100位数，更不用说无穷位数了）则会过犹不及，因为它们超出了我们在物质世界中描述任何真实距离所需的上限。
然而，在微积分中，我们一直在使用无穷位数。早在中学时期，学生们就要开始思考像0.333…这样的无穷小数。尽管我们把这类数字称为实数，但它们一点儿也不真实。至少就我们今天通过物理学了解到的现实而言，依据小数点后的无穷位数来认定实数的要求恰恰意味着实数并不是真实的。
如果实数是不真实的，数学家为什么会如此喜爱它们呢？小学生又为什么必须学习它们呢？因为微积分需要实数。从一开始，微积分就固执地认为万物——空间和时间、物质和能量，以及已经存在或将要出现的所有事物——都应该被视为连续的。因此，万物都可以并且应该用实数来量化。在这个理想化的假想世界里，我们假装一切事物都可以被无限地切分。整个微积分理论都建立在这个假设的基础之上，如果没有它，我们就无法计算极限；如果没有极限，微积分将会停滞不前。如果我们使用的都是精密度只有60位的小数，那么数轴上将会布满麻点和坑洼。而在这些坑洞处，原本应该放置着圆周率、2的平方根和小数点后有无穷位数的数字。即使像1/3这样的简单分数也会消失不见，因为它也需要用无穷位数（0.333…）来确定它在数轴上的位置。如果我们想把全体数字视为一条连续的线，这些数字就必须是实数。尽管它们可能只是现实的近似值，但却行之有效。我们很难用其他方式为现实建模。和微积分的其他部分一样，在无穷小数的助力下，无穷让一切事物都变得更简单了。
本文摘自《微积分的力量》，作者是美国数学家史蒂夫·斯托加茨。
Ill . Quantum mechanics : Greene , The Elegant Universe , chapters 4 and
[2］刘易斯·卡罗尔是英国童话作家，代表作有《爱丽丝梦游仙境》等。-﹣编者注[3], Schr ö dinger ' s equation : Stewart , In Pursuit of the Unknown , chapter
14.
[4]. Planck length : Greene , The Elegant Universe ,127-31, explains why physi cists believe that space dissolves into quantum foam at the ultramicro scopic scale of the Planck length . For philosophy , see S . Weinstein and D . Rickles ," Quantum Gravity ," Stanford Encyclopedia of Philosophy ,https://plato.stanford. edu / entries / quantum - gravity /.
