最近，华人女数学家王虹与她的合作者Joshua Zahi共同证明了三维“挂谷猜想”（Kakeya set conjecture）。这个突破性的成果迅速引发了公众和学术界的关注。
这个消息令很多人激动，不管是业内的还是业外的，懂的还是不懂的，都有值得兴奋的理由。
证明这件事非常重要，甚至对于数学而言，没有证明，我们就无法谈论真正的数学。
证明，其实不一定很枯燥，也可以很有趣，只不过基础不同，感受会不一样。 这个道理在其他领域里也适用，艺术、游戏、工程等等，认知不同，体验也大不相同。
最近在读《证明的故事》一书（见文末链接），很有意思，也很权威。感受了证明的力量。
本文来回顾几个很有意思的数学证明，不涉及太复杂和深奥的数学定理，但力求从中获得一些启发。
1. 欧几里得的素数无穷定理“素数无穷定理”是欧几里得在公元前300年左右证明的，这一结果至今仍然为人称道。它的结论是：素数是无穷多的，也就是说没有最大素数。这个证明既简单又深刻，让我们一窥数学证明的优雅。
欧几里得的证明方法非常巧妙，他使用了反证法。假设素数是有限的，并且列出所有素数：。然后构造一个新数：
显然，不能被任何一个整除。因为对每个，除以都会剩余1。这意味着不是任何已知素数的倍数，或者是一个新的素数，或者它有一个新的质因数，这个因数不在原来的素数列表中。这个结果与最初的假设相矛盾，证明了素数是无穷多的。
这个证明虽然简短，但它展示了数学思维中的一种深刻的优雅和逻辑严谨性。通过反证法的思路，欧几里得展示了一个在直觉上难以察觉的数学真理，这正是数学证明独特魅力的一部分。
2. 高斯的等差数列求和公式卡尔·弗里德里希·高斯是数学史上最伟大的天才之一。他从小便展现出了过人的数学才华。一个著名的故事是，在高斯的童年时期，他的老师曾让学生们求出1到100的和。大多数学生可能会像我们一样，逐一相加。但高斯却立刻发现了一个巧妙的方法，通过将这些数字配对求和，迅速得出了结果。
将数字1到100的序列从两端开始配对，可以得到50对，每一对的和都是101：
因此，求和的结果就是：
这个巧妙的想法不仅节省了时间，还展示了如何在看似简单的问题中发现内在的规律和结构。其实类似的证明在数学中有很多，关于勾股定理证明的诸多方法就是很典型的例子。
3. 阿基米德的圆的面积公式阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他在几何学方面的贡献至今仍被视为经典。阿基米德不仅创造了许多基础的几何定理，他还通过独特的逼近方法，计算出了圆的面积。
阿基米德的思路非常独特，他没有直接计算圆的面积，而是通过将圆分解为若干个正多边形，逐渐增加多边形的边数来逼近圆的面积。随着多边形边数的增加，它们的面积逐渐接近圆的面积。通过这一逼近法，阿基米德得出了圆的面积公式：
这种方法展示了数学中的极限思想。即使在没有现代微积分的情况下，阿基米德依然通过几何的方法逼近圆的面积，展现了他卓越的数学直觉。
4. 费马大定理在数学史上，费马大定理是一个著名的千年难题，它曾困扰了数学家们整整358年。费马大定理的内容是：没有三个正整数，使得对于成立。费马在他的笔记中写道：“我发现了一个非常巧妙的证明，但是这边的空白太小，写不下。”
费马大定理的证明经历了无数数学家的尝试和失败，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于成功地证明了这个定理。怀尔斯的证明依赖于当时最先进的数论工具——椭圆曲线和模形式。这个证明不仅解决了一个长期困扰数学界的问题，而且还推动了数论和代数几何的发展。
费马大定理的证明过程不仅展现了数学的深邃和复杂性，也反映了数学在解决问题时的渐进式推进。这个证明告诉我们：数学证明并非一蹴而就，它是一个不断积累、不断发展的过程。
5. 四色定理四色定理是另一个著名的数学问题。它的内容是：任何地图都可以用至多四种颜色着色，使得相邻的区域不会使用相同的颜色。这个问题自1852年提出以来，数学家们一直未能证明，直到1976年，肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯利用计算机的帮助，最终证明了四色定理。
四色定理的证明在当时引起了巨大轰动，因为这是第一个使用计算机辅助的数学证明。阿佩尔和哈肯通过计算机验证了数以万计的情况，从而最终确认了四色定理的正确性。这种“计算机辅助证明”的方法，引发了数学界对于证明形式的深刻讨论。
四色定理的证明过程展示了数学中的一种新兴思维方式：借助计算机等现代技术工具，数学家可以处理庞大的数据集，从而解决传统手工推理无法完成的任务。这个证明不仅是数学证明形式的一次创新，也让我们看到了数学研究与技术进步的结合。
其实最近AI的突破性进展也在数学界产生了很大的影响，数学家与AI合作进行证明也会成为一种重要的研究范式。
通过回顾这些数学证明，我们不难发现，数学不仅仅是一门抽象的学科，更是一种富有创造力和艺术性的思维方式。
证明不仅是数学的核心，它也是数学之美的体现。每一个证明，都是对未知世界的探索，它让我们更接近真理，带给我们深刻的哲理和无限的智慧。
而对于普通人来说，虽然数学的证明过程可能充满了挑战，但其中的优雅与深邃，依然能让人感受到数学作为一门学科所独有的魅力。
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有人说数学是工科之母，是有道理的！❌数学冒充物理是骗术：数学是语言推理比较表达功能的特例，是应用广泛的思维演绎工具，必须从公理前提出发才能获得确定性。认知自然/想知道能不能趟过一条河？依靠观测归纳，从来如此只能如此。🍎牛顿定义自然哲学公理作为数学原理//思维演绎因。广义物理观测发现新现象，辩证法归纳公理概念符号文字(形而上学)，发现了不变现象/真理1+1=2等，创造了数学。❌绝对时空也是不变的真理，可无限细分叠加，不均匀弯曲时空搞微积分是笑话。为名利鼓吹数学，数学冒充物理(2维蚂蚁10维爸爸)，虚幻无边，欺师灭祖！🍎数学冒充物理追不上芝诺乌龟，是骗术。解释光电效应，普朗克公式，数学能量，空间弯曲，光速不变，相对时空，波物场物论，量子X学,,,,假说数学冒充物理，有害无益。质能方程数学能量与相互作用力/相对运动有关系吗？一支笔一张纸摇脑袋认知自然？是悖论潘多拉。祸害物理、哲学也祸害了数学，祸害科学祸害子孙祸害国家，更爱破烂长衫子，名利之徒！悖论斯坦……一个用数学冒充物理，假说自然欺师灭祖祸害人类的名利骗子，他居然成了科学的时髦？？？
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孔乙己看不起牛顿经验归纳/实践出真知/短衣帮，更爱假说相对论之乎者也长衫子。假说“所有天鹅都是黑的”，找到一只黑天鹅，写论文皆大欢喜，号称证明了！假说科学不算假/读书人偷书不算偷，都是伟大的突破，物理革命！。。。 然后诠释号称应用………前天有人打了一个很响的臭屁，比蝴蝶效应还要猛。今天果然下雨获得了应用，臭屁的应用十分广泛。………为什么世界上只有三个人懂的XX论，获得了如此广泛的应用呢？？诠释一切，应用也靠诠释？？答案只有孔乙己知道！———演绎卫星发射控制，都是不得不去用牛顿力学，清清楚楚的，需要写论文诠释吗？
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真理都是简单的，不证自明的(不变现象)无法证明的(全称命题)，可证伪/乐于辩证批判。悖论诠释号称证明(全称命题)是骗。古希腊哲学对真理的理解 —— 真理是不变的现象。水流现象千变万化是真实/不是真理。水往低处流，指南针，物质不灭，能量守恒，电荷守恒，1+1=2，绝对时空，相对速度，……都是不变的现象/真理/知道/确定性。号称人人不知的空间弯曲是真理，胡编人人可知的时间是虚幻！！是缺德笑话。科学/哲学追求确定性(知道)是生存的必须，鼓吹不确定(不知道)❌是鬼迷心窍丧心病狂。不变现象(科学)是观测归纳不是假说证明不是解释稀奇。……假说“所有天鹅都是黑的”，然后找到一只黑天鹅，就号称证明假说了？？——— 所有物质100%由带电质量体/粒子构成(不变现象/本质)，电子质子结合成中子，正负光子结合成中微子。……不显电性的中子，中微子，穿透材料/等离子体/微观电磁结构的能力强大，中微子极其微小，必然是穿透物质材料的惯性运动冠军。电子质子光子都带电，穿透力当然不行。——物体材料边缘亚原子尺度正负电场密集分布，带电光子电子受引力斥力作用，分裂成双缝干涉条纹，边缘衍射条纹，奇怪吗？？？
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❌证实/证明理论是骗术：：：需要证明的真理/理论是骗，号称证明真理/理论也是骗！！！真理理论作为预测未来的全称命题，证伪当然有效，证明/证实当然无效。号称证明XX论和万有引力定律，都是骗。实验只能证明具体现象是真实。 认知自然/想知道能不能趟过一条河？没有经验知识无法演绎应用，创造假说也没用，只能依靠观测归纳。所有自然规律都是对过去的归纳，未来不变，不变的原因是不知道，只能信任自然！——“相对真理”也是骗术，真理是客观存在的绝对真理，人类诞生之前月亮不运动吗？？引力有没有？？都是显而易见！仰望星空信任自然的地心说需要认知进化，能否定绝对真理？？地心说依据的现象变了吗？没有！号称相对真理是悖论斯坦蔑视自然_欺师灭祖_搞骗的伎俩。❌❌大胆假设(规律)，细心求证，都是骗术，是悖论斯坦发家(科学家)的“两头骗”！用假设猜想后脑勺肯定没用，搞1000年可解释一切稀奇的鬼故事(假说假设，不是公设假定)也真不了，牛顿自然哲学反对任何创造假说！！！无人机，潜水艇，轮子，核弹的发明创造都是由公理和观测经验大胆演绎的结果/现象，与自然复杂现象一样，真理不变现象无穷多。质能方程演绎狗屎造核弹有用吗？