解析函数是数学分析，特别是复变函数论中的核心概念：
解析流形和解析映射是数学领域，特别是微分几何与复分析中的重要概念：
解析流形在数学中，解析流形是具有解析结构的流形。更具体来说：
基础条件：它首先是一个豪斯多夫（Hausdorff）空间 ，这意味着对于空间中任意两个不同的点，都能找到两个不相交的开集，分别包含这两个点。局部同胚特性：流形上的每个点都有一个邻域，该邻域与欧几里得空间的一个开集同胚。也就是说在解析流形的每个局部区域内，都可以用欧几里得空间来近似描述。坐标转换要求：配备一族坐标邻域，这些坐标邻域之间的坐标转换映射都是实解析映射（在实解析流形情形） 或复解析映射（在复解析流形情形）。比如，仿射空间、射影空间、复流形等都是解析流形。解析映射解析映射是定义在解析流形之间的一种映射：
性质：解析映射比一般的光滑映射要求更严格，它在局部上具有很好的性质，比如无穷次可导，并且可以进行幂级数展开等操作。在复分析中，解析映射也被称为全纯映射，具有许多独特且重要的性质，如满足柯西 - 黎曼方程等，在复几何、数学物理等领域有广泛应用 。解析流形和解析映射为研究几何结构、函数性质以及解决数学物理中的相关问题提供了有力的工具和框架。
