20世纪70年代，数学界广泛关注的主题有两个，一个是混沌理论，即所谓的非线性动力学。这个主题由微积分发展而来。另一个是复杂系统，它具有不那么正统的思维方式，并刺激新的数学和新的科学。

牛顿的自然数学原理哲学把世界的体系简化为微分方程，而这些微分方程是“决定论”的。也就是说，一旦知道了系统的初始状态，它的未来就一直是唯一确定的。这是一种没有给自由意志留下任何余地的理论。但同时，它也为我们带来了收音机、电视、雷达、移动电话、商用飞机、通信卫星和计算机等。

科学决定论的发展还伴随着一种模糊但根深蒂固的复杂性守恒观念。这是“简单的原因必然产生简单的结果”的假设，也意味着复杂的结果必然有复杂的原因。这种观念使我们想知道复杂系统的复杂性从何而来。例如，既然生命一定起源于一个没有生命的星球，那么它的复杂性是从哪里来的呢？我们很少想到复杂性可能会自动出现，但这正是数学所表明的。

从拉普拉斯到庞加莱

物理定律的确定性来源于一个简单的数学事实：在给定的初始条件下，微分方程至多只有一个解。拉普拉斯总结了决定论的数学观点：

一个在任何时候都知道自然界万物的动力和万物的相互位置的智能，如果这个智能足够强大，它就可以把宇宙中最大的物体的运动和最轻的原子的运动浓缩成一个公式。对于这样一个智能来说，没有什么是不确定的，未来就像过去一样呈现在它的眼前。

具有讽刺意味的是，正是在天体力学（物理学中最明显的决定论部分）中，拉普拉斯的决定论才遇到挑战。1886年，瑞典国王奥斯卡二世为解决太阳系稳定性问题设立了一个奖项。太阳系会一直稳定地运行下去吗？或者会不会有一颗行星撞向太阳？能量和动量守恒的物理定律并没有阻止这两种可能性的发生，太阳系的详细动力学能提供更多的线索吗？

庞加莱下定决心要挑战这个问题，他仔细研究了一个更简单的问题，即三个天体的系统。三个物体的方程并不比两个物体的糟糕多少，而且一般形式也大体相同。但是，庞加莱的三体问题却出乎意料地困难，他发现了一些令人不安的事情。这些方程的解完全不同于二体方程的解。事实上，这些解是如此复杂，以至于无法用数学公式写下来。更糟糕的是，他对解的几何结构（更准确地说，是拓扑结构）有足够的了解，足以毫无疑问地证明，这些解所代表的运动有时可能是高度无序和不规则的。这种复杂性现在被视为混沌的典型例子。

大约60年后，对三体问题的研究引发了一场革命，改变了我们看待宇宙与数学的关系。

1926 年，荷兰工程师巴尔萨泽·范德波尔构建了一个模拟心脏的数学模型，并发现在某些条件下，产生的振荡不像正常心跳那样具有周期性，而是不规则的。后来，数学家在一项雷达电子学的研究中为范德波尔的研究提供了坚实的数学基础。

20世纪60年代初，美国数学家斯蒂芬·斯梅尔要求对电子电路的典型行为类型进行完整的分类，从而开创了动力系统理论的现代时代。起初，他认为答案是周期运动的组合，但很快意识到，更复杂的行为是可能的。特别是他发展了庞加莱在限制三体问题中的复杂运动的发现，简化了几何结构，产生了一个被称为“斯梅尔的马蹄”的系统。他证明了马蹄系统虽然是确定的，但也有一些随机的特征。

一个普遍的理论（混沌理论）开始出现。与此同时，混沌系统零星地出现在应用文献中。其中最著名的混沌系统是气象学家爱德华·洛伦兹在1963年提出的。洛伦兹准备建立大气对流模型，用含有三个变量的更简单的方程来近似这种现象的非常复杂的方程。在计算机上用数值方法求解这些问题时，他发现解以一种不规则的、几乎是随机的方式振荡。他还发现，如果变量的初值有稍微的扰动，那么结果就会大有不同。他在随后的讲座中对这一现象的描述引出了著名的“蝴蝶效应”。

这种效应给天气预报带来了很大的问题。但如果断定是蝴蝶引起了飓风，那就错了。在现实世界中，影响天气的不是一只蝴蝶，而是数万亿只蝴蝶的统计特征和其他微小扰动。总的来说，这些因素对飓风形成的地点、时间以及随后的走向都有明确的影响。

研究人员利用拓扑方法证明了庞加莱观察到的奇异解是方程中奇异吸引子的必然结果。一个奇异吸引子是一个复杂的运动。它可以被可视化为由描述系统的变量形成的状态空间中的一个形状。

吸引子的结构解释了混沌系统的一个奇特特征：它们可以在短期内被预测，但不能在长期内被预测。为什么不能把几个短期预测串在一起形成一个长期预测呢？因为我们描述混沌系统的准确性会随着时间的推移而下降，而且下降速度在不断增长，所以存在一个我们无法超越的预测范围。尽管如此，系统仍然在同一个奇异吸引子上，但它经过吸引子的路径发生了显著的变化。

这改变了我们对蝴蝶效应的看法。蝴蝶所能做的就是在同一个奇异吸引子上推动天气的变化。

大卫·鲁埃尔和弗洛里斯·塔肯斯很快发现了奇异吸引子在物理学中的应用，即令人困惑的流体湍流问题。流体流动的标准方程，称为Navier-Stokes方程，是偏微分方程。一种常见的流体流动，层流，是光滑和规则的，这正是你从确定性理论中所期望的。但另一种类型，湍流，是不规则的，几乎是随机的。先前的理论要么声称湍流是一种极其复杂模式的组合，其中每个模式都非常简单，要么声称Navier-Stokes方程在湍流状态下失效。但鲁埃尔和塔肯斯还有第三种理论。他们认为，湍流是一种奇异吸引子的物理实例。

最初，人们对这一理论持怀疑态度，但我们现在知道，它是正确的。其他成功的应用也接踵而至，“混沌”一词被用作所有此类行为的名称。

在1870年到1930年之间，一群特立独行的数学家发明了一系列奇异的形状，其唯一目的就是要证明经典分析的局限性。在微积分的早期发展过程中，数学家们假定任何连续变化的量几乎在任何地方都具有明确的变化率。例如，一个在空间中连续移动的物体有一个明确的速度。然而，1872年，魏尔斯特拉斯证明了这个长期存在的假设是错误的。一个物体可以以连续的方式运动，但它的运动方式很不规则，它的速度每时每刻都在突然变化。这意味着它实际上根本没有一个合理的速度。

数学家们发现的怪异形状包括：一条曲线填满了整个空间区域（一条是皮亚诺在1890年发现的，另一条是希尔伯特在1891年发现的），一条曲线在每一点上都交叉，一条无限长曲线包围了一个有限的区域。最后一个怪异的几何图形，是冯·科赫在1906年发明的，雪花曲线，它的结构是这样的

由于它的六重对称，最终的结果看起来像一个复杂的雪花。

数学的主流开始谴责这些奇怪的东西是“病态的”和“怪物的画廊”，但随着时间的推移，特立作派的观点得到了支持。到了世纪之交，数学家们已经开始接受了“怪物的画廊”里的“怪物们”了。到了1900年，希尔伯特甚至称这一领域为天堂。

在20世纪60年代，出乎所有人的意料，理论怪物的画廊在应用科学的方向上得到了意想不到的推动。曼德布洛特意识到这些怪异的曲线是自然界不规则理论的线索。他把它们重新命名为分形。自然界充斥着复杂而不规则的结构，如海岸线、山脉、云层、树木、冰川、河流系统、海浪、环形山、花椰菜，传统几何学对这些结构无能为力。我们需要一种新的自然几何学。

今天，科学家们已经把分形纳入进了他们的正常思维方式中。大气流动是湍流，湍流是分形，而分形可以像魏尔斯特拉斯的畸形函数一样连续运动，但没有明确的速度。曼德布洛特在科学内外的许多领域都发现了分形的例子——树的形状、河流的分支模式、股票市场的走势。

奇异吸引子，从几何上看，原来是分形，这两条思想线交织在一起，形成了现在广为人知的混沌理论。

混沌几乎存在于每一个科学领域。数学家发现太阳系的动力学是混沌的。由于动力学混沌的存在，对太阳系的预测的范围大约在1000万年左右。所以，如果你想知道地球在公元1000万年时在太阳的哪面是不可能的。这些天文学家还表明，月球的潮汐使地球稳定下来，从而导致气候宜居；所以混沌理论表明，如果没有月球，地球将是一个非常不适合居住的地方。

几乎所有生物种群的数学模型中都会出现混沌。生态系统通常不会达到自然的某种静态平衡，相反，它们在奇异吸引子上徘徊，通常看起来相当相似，但总是在变化。

当今科学面临的许多问题都极其复杂。要管理珊瑚礁、森林或渔场，就必须了解一个高度复杂的生态系统，在这个系统中，看似无害的变化可能引发意想不到的问题。现实世界如此复杂，如此难以测量，传统的建模方法很难建立，更难以验证。为了应对这些挑战，越来越多的科学家开始相信，需要对我们模拟世界的方式进行根本性的改变。

20世纪80年代初，乔治·考恩意识到，一条前进的道路在于新发展的非线性动力学理论。在非线性动力学成为科学建模的主要方法之前，它的作用主要是理论上的。最深刻的工作是庞加莱关于天体力学的三体问题研究。这预测了天体轨道的高度复杂性，但对它们的确切情况却知之甚少。这证明了简单的方程可能没有简单的解，复杂性不是守恒的，但可以有更简单的起源。

在一种被称为细胞自动机的数学模型中，生物被简化为彩色小方块。当时约翰·冯·诺伊曼正试图理解生命自我复制的能力。想象一个由巨大的方格网格组成的宇宙，这些网格叫做细胞，就像一个巨大的棋盘。在任何时候，一个给定的方格都可以以某种状态存在。这个棋盘宇宙拥有自己的自然法则，描述了每个细胞的状态如何随着时间的推移而改变，并用颜色表示那些状态。这个棋盘宇宙的自然法则很简单：如果一个单元格是红色的，旁边有两个蓝色的单元格，那么它必须变成黄色。任何这样的系统都被称为元胞自动机，元胞是因为网格，自动机是因为它盲目地遵守列出的任何规则。

为了模拟生物最基本的特征，冯·诺伊曼创造了一种可以自我复制的细胞结构。它有20万个细胞，用29种不同的颜色来携带自己的编码描述。此描述可以盲目复制。冯·诺伊曼直到1966年才发表了他的研究成果，那时克里克和沃森已经发现了DNA的结构，生命是如何真正进行复制的也变得清晰起来。细胞自动机又被忽视了30年。

然而，到了20世纪80年代，人们对由大量简单部件组成的系统越来越感兴趣，这些部件相互作用产生一个复杂的整体。传统上，用数学方法对系统建模的最好方法是包含尽可能多的细节。但是这种高细节的方法对于非常复杂的系统来说是失败的。例如，假设你想了解兔子数量的增长。你不需要模拟兔子皮毛的长度，它们的耳朵有多长，或者它们的免疫系统是如何工作的。你只需要了解每只兔子的一些基本情况，它的年龄、性别、是否怀孕。然后你就可以把计算机资源集中在真正重要的事情上。

复杂系统支持这样一种观点，只要化学足够复杂，生命就有可能出现。

对于这类系统，元胞自动机是非常有效的。它们可以忽略有关单个组件的不必要细节，而将重点放在这些组件如何相互关联上。

一个传统建模技术无法分析的复杂系统如河流流域和三角洲的形成。Peter Burrough用细胞自动机解释了为什么这些自然特征会形成它们所拥有的形状。自动机模拟水、土地和泥沙之间的相互作用。研究结果解释了不同的土壤侵蚀速率如何影响河流的形状，以及河流如何带走土壤，这些都是河流工程的重要问题。

细胞自动机的另一个重要的应用发生在生物学上。斯图尔特·考夫曼应用了多种复杂理论技术来深入研究生物学中的另一个主要难题：有机形态的发展。一个有机体的生长和发育必须涉及大量的动态过程，它不仅仅是将DNA中保存的信息转化为有机形式的问题。一个有效的方法是将发展表述为一个复杂非线性系统的动力学。

细胞自动机给了我们一个关于生命起源的新视角。冯·诺伊曼的自我复制自动机非常特殊，它经过精心设计，可以复制高度复杂的初始配置。1993年，研究人员开发了一种具有29个状态的细胞自动机，其中随机选择的初始状态可导致超过98%的自复制结构。在这个自动机中，自我复制的实体几乎是确定无疑的。

复杂系统支持这样一种观点，在一个化学成分足够复杂的无生命星球上，生命很可能自发地形成，并组织成更加复杂的形式。尚待理解的是，在我们的宇宙中，是什么样的规律导致了自我复制结构的自发出现，也就是说，是什么样的物理规律使这通向生命的关键第一步不仅可能，而且不可避免。