假设想用互不重叠的半径为1的圆盘把平面填充得尽可能紧密，该怎么做？这是所谓填充问题的一个例子。可以这样来排列这些圆盘，使得它们的中心成为一个正三角形网格，

3维情况下，类似的结果也是对的，但是证明起来就难得多了。很长一段时间以来，它都是一个未解决的问题，并以“开普勒猜想”而闻名于世，一直到了1998年，才有一位美国数学家Thomas Hales 宣称，他借助于计算机得到了一个很长很复杂的解，虽然他的解已经被证明是很难核验的，但是有一个共识，认为大概是正确的。

可以在任意维空间里提出球的填充问题，但是随着维的增加，这个问题变得越来越难。大概到了97维，最紧密的填充将是永远无法知道的。类似的经验提示，最好的排列方法几乎绝不会有如同2维情况的那种简单结构了，所以，唯一的解决方法可能就是某种“硬性搜寻”（brute-force search）。然而，搜寻可能的最佳复杂结构是不可行的，虽然能够想办法把这个过程化简为只在有限种可能性中搜索，但这时可能性也还是太多，使得实际搜寻成为不可行的。

对于一个看起来太难解决的问题，一个有效的方法是提出一个与之有关联但是能够处理的问题。对于填充问题的例子，不必去发现最好的填充，只需要看一下能够找到紧密到何种程度的填充。

下面在 n 相当大的时候，概要地叙述在n维情况下，能够给出相当好的填充的论据。从极大填充开始，所谓极大填充，就是把球一个接一个地画进去，但不要与已经画好的球重叠，直到不与已经画好的球重叠就再也不能画新球为止。

现在，令z为R^n的任一点。这时，在已经画好的球的集合中，一定有一个球心与x的距离小于2的球，因为否则就能够以这一点x为球心作一个单位球，而它不会与任何一个画好的球相重叠。所以，这样作出的填充就是一个极大填充。至此，取所有的球的集合，并且把每一个球都按因子2放大，就会把整个R^n覆盖起来。因为把一个n维球按因子2放大时，其（n维）体积增加2^n倍，所以未曾放大的球所已经覆盖的R^n的比例至少是2^（-n）。

注意，在以上的论证中，对于紧密度达到2^（-n）的填充中，球是如何排列的还一无所知。我们所做的无非就是做出了一个极大填充，做的方法也是相当随便的。这与在2维情况下的方法成了鲜明的对照，在2维情况下，我们确实定义了圆盘的很独特的排列方式。

这样的对照在整个数学中比比皆是。对于有些问题，最好的方法是建立一个具有高度结构的模式，使它具有所需要的性质，而对于另一些问题（这些问题想要得到精确的解通常是毫无希望），去寻找不那么独特的安排反而更好。“具有高度结构的"这个词，这里就意味着"具有高度对称性"。

正三角形格网是一个很简单的模式，但有些具有高度结构的模式却可能复杂得多，而在发现它们时，常会给人大得多的惊喜。在填充问题中就有一个值得注意的例子。大体说来，研究的问题维数越高，寻找好的模式就越困难，但是这个一般的规律在24维的情况却发生了例外。在这时出现了一个很不平常的构造，称为利奇（Leech）格网，给出了奇迹般紧密的填充。形式地说，R^n中的格网就是具有以下三个性质的子集合Λ：

若x和y都属于Λ，则x+y和x-g也属于Λ。

若x属于Λ，则它必是孤立的。就是说必定存在一个常数d>0，使x和Λ 中任意其他点的距离至少是d。

Λ不包含于R^n的任意n-1维子空间中。

R^n中的所有具有整数坐标的点的集合Z^n就是格网的好例子。如果要寻找一个紧密的填充，关注于格网是一个好主意，因为只要知道了格网中的每一个非零点距离0至少为d，则格网中任意两点的相互距离也至少为d。这是因为Λ中的x与y的距离，与y-z与0的距离是相同的。所以，不需要考虑整个格网，只看它在0附近的那一部分就可以了。

在 24 维情况下可以证明，存在一个格网Λ 具有以下的附加的性质，这个格网在以下的意义下还是唯一的，即所有也具有这些附加性质的格网都可以由这个Λ 旋转而得。

存在一个24×24矩阵M，其行列式等于1，而Λ就是M的各行的整数组合。

若v是Λ的一点，则v到0的距离的平方是一个偶数。

Λ中离0最近的非零向量的距离是2。所以，以Λ的点为心半径为1的球，构成R^24的一个填充。

离开0最近的非零向量远非唯一的，事实上有196560个，考虑到这些点互相的距离为2，就可以看到这是一个非常大的数字，这个格网就叫做利奇格网。

利奇格网有极大的对称性，说准确一些，有8315553613086720000个旋转对称，这个数等于

如果取这个对称群对于恒等元和负恒等元所成的子群的商群，就会得到康威（Conway）群C_o1，它是单群的著名的散在子群之一。有这么多对称性存在，使得决定任意非零格点到0的距离更加容易，因为只要核验了一个距离，也就同时自动地核验了许多其他点的距离（正如在正三角形格网情况下六重对称性使得0到6个相邻的非零点距离都相同）。关于利奇格网的这些事实表明了数学研究的一个一般原则∶若一个数学结构有了一个值得注意的性质，也就会有其他性质。特别是高度的对称性常与其他的有趣的特性有关。于是，如果说利奇格网的存在已经令人吃惊，那么，再发现它会给出R^24的极为紧密的填充就不太令人吃惊了。事实上，2004年Henry Cohn和Abhinav Kumar 表明，它给出了R^24这个球的最紧的填充，至少在格网给出的填充中，它是最紧密的，不过，这一点仍未得到证明。

最大的散在单群称为魔群（Monster Group）。这个名称部分地可以用它的大小来解释∶

怎么能理解这么大的群呢？

最好的办法之一是证明它是某个其他的数学结构的对称群，而且，那个对象越小越好。我们刚才已经看到了另一个很大的散在单群，康威群与利奇格网的对称群有密切的关系。是否也有某个格网以魔群为对称群呢

不难证明，确实有一些格网能起作用，但是更大的挑战是要找一个小维数的格网。已经证明了最小可能的维数是196883。

现在转到一个不同的数学分支。找到一个函数j（z）的定义。这个函数称为椭圆模函数，它在代数数理论中起着中心的作用，它是由一个级数的和来定义的，这个级数是这样开始的∶

令人感兴趣的是级数中e^2πiz的系数是196884，比刚才的格网的最小可能维数196883只大了1，而这个格网是以魔群为对称群的。

并不明显的是我们应该多么严肃地对待这个观察，当John McKay看到这一点时，人们就已经有了分歧。有人认为这大概只是偶合，因为这两个领域看来如此不同而且互不相关。另一些人的态度则是∶既然函数j（z）和魔群在自己的领域中都如此重要，而数196883又这么大，这种惊人的数值上的事实，可能指向尚未发现的深刻联系。

后来证明第二种观点是正确的。在研究了j（z）的各个系数以后，McKay 和John Thomson提出了一个猜想，即所有的系数（不只是196884）都与魔群有关。这个猜想后来被康威和Simon Norton 扩展，他们提出了所谓"魔幻月光猜想"（mon-strous moonshine conjecture），在1992年被Richard Borcherds证明（这里使用了“月光”二字，说明开始时人们觉得魔群与j函数的联系朦胧如月色，令人不敢相信）。

Borcherds 为了证明这个猜想引进了一个新的代数结构，并称之为顶点代数，而为了分析顶点代数，他又利用了来自弦论的结果。换句话说，借助于理论物理学的概念，他解释了两个看来很不相同的纯粹数学领域的联系。

这个例子用很极端的方式说明了数学研究的另一个一般原则∶如果能够从不同的数学来源，得到同样的数字序列（或者同样的更一般的数学结构），那么这两个数学来源大概有点联系，不会如初看时觉得的那样互不相关。此外，如果能够找到一个深刻的联系，说不定就会被引到其他深刻联系。有许多别的例子，其中完全不同的计算给出了相同的答案，而至今未得解释。这些现象后来成了数学中的某些最困难最吸引人的未解决问题。

更有趣的是，j函数还引到了第二个著名的数学“偶合”。

但是它的十进小数展开是这样开始的∶

注意，小数点后紧接着12个9。它与一个整数262537412640768744如此惊人地接近，二者只相差不到2×10^（-13）。开始的时候，这件事又一次诱使人把它只当成一个偶合，但是，屈服于一个诱惑之前，必须三思而行。毕竟不会有很多的数定义可以如

一样简单，而其接近于一个整数的程度也如它自己那样。事实上，这完全不是偶合，关于其解释涉及到代数数，这是以后的话题了。