函数的增减性是函数的一个重要性质，应用也比较广泛。本文介绍几种判定函数增减性的方法。
一、利用增函数和减函数的定义来判定一些简单函数的增减性
设函数y=f(x)定义在(a，b)内，x₁，x₂是(a，b)内某个区间上的任意两点，那么
1.若x₁<x₂时，恒有f(x₁)<f(x₂)，则y=f(x)是这个区间上的增函数；
2.若x₁<x₂时，恒有f(x₁)>f(x₂)，则y=f(x)是这个区间上的减函数.
在判定函数的增减性时，有时要根据给定函数的具体形式和性质，采用不同的方法，先把它进行恒等变形，然后再根据增、减函数的定义和不等式的性质来判定。
例一 判定下列函数在区间(0，+∞)内的增减性。
(1)f(x)=2ˣ⁻¹；(2)f(x)=lgx+x.
解：(1)根据函数增减性的定义，设x₁，x₂∈(0，+∞)，且x₁<x₂.
则
由指数函数的性质可知，
即f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x₁)<f(x₂)。
故由增函数的定义可知，
f(x)=2ˣ⁻¹在(0，+∞)内是增函数。
(2) 设x₁，x₂∈(0，+∞)，且x₁<x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=(lgx₁+x₁)-(lgx₂+x₂)
由对数函数的性质可知，
即f(x₁)-f(x₂)<0，∴ f(x₁)<f(x₂)。
故由增函数的定义可知，
f(x)=lgx+x在(0，+∞)内是增函数。
例2 判定函数
在区间(-∞，-1)和(0，1)内的增减性。
解：(1)在(-∞，-1)内时：设x₁，x₂∈(-∞，-1)，且x₁<x₂.
则
即f(x₁)-f(x₂)<0，∴ f(x₁)<f(x₂)。
故f(x)在(-∞，-1)内是增函数。
(2)在(0，1)内时：设x₁，x₂∈(0，1)，且x₁<x₂.
由(1)可知，
∵x₁,x₂∈(0,1), x₁<x₂,
∴ x₂-x₁>0, 0<x₁·x₂<1, 1-x₁·x₂>0.
即f(x₁)-f(x₂)>0，∴ f(x₁)>f(x₂).
故由减函数的定义可知，f(x)在(0，1)内是减函数。
例3 判定函数
的增减性。
解：函数f(x)的定义域为(-∞，-1)和(-1，+∞)。已知函数可变形为：
(1)当x在(-∞，-1)内时：设x₁，x₂∈(-∞，-1)，且x₁<x₂.
则
∵ x₁，x₂∈(-∞，-1)，且x₁<x₂,
∴ 1+x₁<0, 1+x₂<0, x₁-x₂<0.
即f(x₁)-f(x₂)<0，∴ f(x₁)<f(x₂).
故由增函数的定义可知，f(x)在(-∞，-1)内是增函数。
(2)当x在(-1，+∞)内时：设x₁，x₂∈(-1，+∞)，且x₁<x₂.
则
∵x₁,x₂∈(-1,+∞), x₁<x₂,
∴1+x₁<0, 1+x₂<0, x₁-x₂<0.
即f(x₁)-f(x₂)<0，∴ f(x₁)<f(x₂).
∴f(x)在(-1，+∞)内也是增函数。
由(1)和(2)可知，函数f(x)在定义域内是增函数。
二、利用已知函数的增减性来判定较复杂函数的增减性
为了能够利用已知的简单函数的增减性来判定其它比较复杂的函数的增减性，这里先给出下面一些简单的定理。
①若函数y=f(x)在定义区间(a,b)内是增函数(减函数)，则对任意常数c，函数y=f(x)+c在(a,b)内也是增函数(减函数)。
②若函数y=f(x)在定义区间(a,b)内是增函数(减函数)，则：
2.1，当c>0时，函数y=cf(x)是增函数(减函数)；
2.2，当c<0时，函数y=cf(x)是减函数(增函数)。
③若函数y₁=f(x)和y₂=g(x)在定义区间内都是增函数(减函数)，则函数y=f(x)+g(x)在定义区间内是增函数(减函数)。
④若两个正值函数y₁=f(x)和y₂=g(x)在定义区间内都是增函数(减函数)，则函数y=f(x)·g(x)在定义区间内是增函数(减函数)。
⑤若两个负值函数y₁=f(x)和y₂=g(x)在定义区间内都是增函数(减函数)，则函数y=f(x)·g(x)在定义区间内是减函数(增函数)。
⑥若正值函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，则函数y=[f(x)]²在定义区间内是增函数(减函数)。
⑦若负值函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，则函数y=[f(x)]²在定义区间内是减函数(增函数)。
⑧若函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，则函数y=-f(x)在定义区间内是减函数(增函数)。
⑨若函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，且f(x)≠0，则函数
在定义区间内是减函数(增函数)。
⑩若函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，且f(x)>0，则函数
在定义区间内是增函数(减函数)。
⑩①若函数y=f(x)在定义区间内是增函数(减函数)，则它在这个区间内的反函数y=f⁻¹(x)是增函数(减函数)。
以上定理，只需要应用增函数(减函数)的定义和不等式的性质就可以证得，请同学们自己证明。
我们举个例子说明上述定理的应用。
例4 判定函数
在(0，+∞)内的增减性。
解：由题意可知，x>0，把已知函数变形：
显然，y>0.
∵当x>0时，x²为增函数，
∴
为减函数。
∴
也为减函数。
又
而
为增函数。即
为增函数。
故函数y在(0，+∞)内为增函数。
三、复合函数增减性的判定方法
①复合函数的定义
设y是u的函数：y=f(u)，而u又是x的函数：u=φ(x)，如果对于函数u的定义域上的每一个值，u所对应的值使函数y有意义，那么通过u将y表示为x的函数：y=f[φ(x)]。这时把y叫做x的复合函数，u叫做中间变量。
②复合函数增减性的判定方法
根据函数增减性的定义，可得到复合函数增减性的判定方法：
设对于函数u=φ(x)定义域内的每一个x值，复合函数y=f(u)=f[φ(x)]有意义，那么
2.1 若函数u=φ(x)，y=f(u)分别是x、u的增函数(减函数)，则函数y=f[φ(x)]是x的增函数。
2.2 若函数u=φ(x)是x的减函数，y=f(u)是u的减函数，则函数y=f[φ(x)]是x的增函数。
2.3 若函数u=φ(x)是x的增函数，y=f(u)是u的减函数，则函数y=f[φ(x)]是x的减函数。
2.4 若函数u=φ(x)是x的减函数，y=f(u)是u的增函数，则函数y=f[φ(x)]是x的减函数。
以上结论直接利用增函数(减函数)的定义是容易证明的，举个例子，我们来证明2.3。
证明：设任意 x₁，x₂在u=φ(x)的定义域内，且x₁<x₂。
∵u=φ(x)是增函数
∴φ(x₁)<φ(x₂)，即u₁<u₂
又y=f(u)是减函数，
∴f(u₁)>f(u₂)，即y₁>y₂
∵当x₁<x₂时，y₁>y₂
∴函数y=f[φ(x)]是x的减函数。
为了方便理解和记忆，我们把复合函数的增减性用下表说明：
说明：函数y=f[φ(x)]的单调区间包含于函数u=φ(x)的单调区间。
在判定复合函数的增减性时，要利用一些已知函数的增减性。
例5 判定函数y=logₐ(x²-3x+2)的增减性。
解：由不等式x²-3x+2>0，得函数的定义域为x>2或x<1.
设u=x²-3x+2，则y=logₐu.
(1)当0<a<1时，y=logₐu是减函数，
又
由二次函数的性质可知，
u=x²-3x+2是增函数，
u=x²-3x+2是减函数。
∵函数的定义域是x>2或x<1.
∴当x>2时，y=logₐ(x²-3x+2)是减函数，
当x<1时，y=logₐ(x²-3x+2)是增函数。
(2)当a>1时，y=logₐu是增函数。
由(1)知，当x>2时，y=logₐ(x²-3x+2)是增函数，
当x<1时，y=logₐ(x²-3x+2)是减函数。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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下期预告： 名师彻底讲透初等函数(28)有理分函数(指数为-1)
前面我们研究过指数是正整数的幂函数，如y=x，y=x²，y=x³。现在我们来研究指数是负整数的幂函数。先研究函数y=x⁻¹。
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