隐函数78x^66x+15e^11y=68x^16y的导数计算

本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数78x^66x+15e^11y=68x^16y的导数计算的主要过程和步骤。

78x^66x+15e^11y=68x^16y,隐函数变形有：78e^(66xlnx)+ 15e^11y=68e^(16ylnx)两边同时求导有：78e^(66xlnx)*(66lnx+66x/x)+15e^11y*11y'=68e^(16ylnx)*(16y'lnx+16y/x),

5148e^(66xlnx)*(lnx+1)+165e^11y*y'=1088e^(16ylnx)*(y'lnx+y/x),y'=[1088e^(16ylnx)*y/x-5148e^(66xlnx)*(lnx+1)]/[ 165e^11y-1088e^(16ylnx)lnx]=[1088e^(16ylnx)*y/x-5148e^(66xlnx)*(lnx+1)]/[165e^11y-1088e^(16ylnx)lnx]

=[1088*x^16y*y/x-5148*x^66x*(lnx+1)]/( [165e^11y-1088*x^16ylnx)

=[1088*y*x^(16y-1) -5148*x^66x*(lnx+1)]/( 165e^11y-1088*x^16ylnx)。

隐函数变形为：

78e^(66xlnx)+15e^11y=68e^(16ylnx)，

使用全微分计算法，有：

78e^(66xlnx)*(66lnxdx+66dx)+165*e^11ydy=68e^(16ylnx)*(16lnxdy+16ydx/x)

5148*e^(66xlnx)*(lnx+1)dx+165*e^11ydy=1088*e^(16ylnx)*lnxdy+1088*e^(16ylnx)ydx/x

[165*e^11y-1088*e^(16ylnx)*lnx]dy=[1088*e^(16ylnx)y/x-5148*e^(66xlnx)*(lnx+1)]dx

[165*e^11y-1088*x^16y*lnx]dy=[1088*yx^(16y-1)- 5148*x^66x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[1088*yx^(16y-1)- 5148*x^66x*(lnx+1)] / [165*e^11y-1088*x^16y*lnx]

=1 [1088*y*x^(16y-1) -5148*x^66x*(lnx+1)]/( 165e^11y-1088*x^16ylnx)。

设F(x,y)=78x^66x+15e^11y-68x^16y，则F对x,y的偏导数有：

F'x=78e^(66xlnx)*(66lnx+66)-68e^(16ylnx)*16y/x

=5148*e^(66xlnx)(lnx+1)-1088*x^16y*y/x

=5148*x^66x*(lnx+1)-1088*y*x^(16y-1),

F'y=165*e^11y-68e^(16ylnx)* 16lnx

=165*e^11y-1088*x^16y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y'=-F'x/ F'y

=-[5148*x^66x*(lnx+1)- 1088*y*x^(16y-1)]/(165*e^11y-1088*x^16y*lnx),

=[1088*y*x^(16y-1) -5148*x^66x*(lnx+1)]/(165e^11y-1088*x^16ylnx)。