初中几何题往往有多种求解方法,不同的方法、其计算量可能天差地别,也可能直接影响解答的难易程度!甚至可以毫不夸张地讲,有时难易程度,甚至“完全”取决于方法的选择!
这是一道九年级几何题:如图一

图一
在直角三角形ABC中,D为直角边AC上一点,∠ABD=45°,BD=13,CD=5,求AD长。
知识点分析
①45°角大概率需要构造等腰直角三角形,导出边长或角度的等量关系。
②由边长或角度的等量关系,判定三角形全等或相似。
③直角三角形大概率需要用到勾股定理或简单勾股数。
提示一:相对简单!
①过点D作BD的垂线,与AB相交于点E,再过点E作AC的垂线EF,如图二

图二
②可证明△DEF≌△BDC,或将△BDC绕点D旋转逆时针旋转90°至BD与ED重合,旋转后三角形记为△EDC',则C'DFE为长方形。故EF=CD=5,DF=BC=12(勾股定理或简单勾股数)。
③△AEF∽△ABC,故AF/AC=EF/BC=5/12。令AF=x,则有5×(x+12+5)=12x,求得7x=85即x=85/7,故AD=85/7+12=24又1/7。
提示二:计算量非常大!

图三
①过点D作AB的垂线DH,则DH=BH=13√2/2,△ADH∽△ABC,故AD/AB=AH/AC=DH/BC即AH²×AB²=AD²×AC²。
②令AD=x,则由勾股定理AH²=AD²-DH²=x²-169/2,从而AB=AH+BH=√(x²-169/2)+13√2/2。
③由简单勾股数可知BC=12,再由①可得AH²AB²=x²(x+5)²即
(x²-169/2)(√(x²-169/2)+13√2/2)²=x²(x+5)²。
上述方程求解难度不小、计算量有点大!
综上,利用比例关系求边长时,若需构造相似三角形,应尽量选择构造边长为有理数的相似三角形,以便有效减少计算量!
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用户10xxx48
最简单?过A作BD的垂直线交BD延长线于E,设AD长a,AE=BE,则有:12a/13=13+5a/13 ,a=13×13/7=169/7