初中几何题往往有多种求解方法，不同的方法、其计算量可能天差地别，也可能直接影响解答的难易程度！甚至可以毫不夸张地讲，有时难易程度，甚至“完全”取决于方法的选择！
这是一道九年级几何题：如图一
图一
在直角三角形ABC中，D为直角边AC上一点，∠ABD=45°，BD=13，CD=5，求AD长。
知识点分析
①45°角大概率需要构造等腰直角三角形，导出边长或角度的等量关系。
②由边长或角度的等量关系，判定三角形全等或相似。
③直角三角形大概率需要用到勾股定理或简单勾股数。
提示一：相对简单！
①过点D作BD的垂线，与AB相交于点E，再过点E作AC的垂线EF，如图二
图二
②可证明△DEF≌△BDC，或将△BDC绕点D旋转逆时针旋转90°至BD与ED重合，旋转后三角形记为△EDC'，则C'DFE为长方形。故EF=CD=5，DF=BC=12（勾股定理或简单勾股数）。
③△AEF∽△ABC，故AF/AC=EF/BC=5/12。令AF=x，则有5×(x+12+5)=12x，求得7x=85即x=85/7，故AD=85/7+12=24又1/7。
提示二：计算量非常大！
图三
①过点D作AB的垂线DH，则DH=BH=13√2/2，△ADH∽△ABC，故AD/AB=AH/AC=DH/BC即AH²×AB²=AD²×AC²。
②令AD=x，则由勾股定理AH²=AD²-DH²=x²-169/2，从而AB=AH+BH=√(x²-169/2)+13√2/2。
③由简单勾股数可知BC=12，再由①可得AH²AB²=x²(x+5)²即
(x²-169/2)(√(x²-169/2)+13√2/2)²=x²(x+5)²。
上述方程求解难度不小、计算量有点大！
综上，利用比例关系求边长时，若需构造相似三角形，应尽量选择构造边长为有理数的相似三角形，以便有效减少计算量！
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用户10xxx48
最简单？过A作BD的垂直线交BD延长线于E，设AD长a，AE＝BE，则有：12a/13=13＋5a/13 ，a＝13×13/7=169/7