六年级:中学生都不一定会!不用三角形全等、勾股定理,咋求解?

贝笑爱数学 2024-08-31 02:45:54

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这是一道海口某小学六年级数学竞赛题,如图一

图一

在等腰直角三角形ABC中,BD=2AD,△DEF也是等腰直角三角形,S△DEF=15,求三角形ABC的面积。

笔者此前已经以“微头条”和图文形式,分别讨论、并分析过此题!本文旨在不使用三角形全等和勾股定理的前提下给出其“不超纲解析”

一、题目分析

★有人说题目错了,也有人说超纲了!

家长群里议论纷纷,很多家长朋友认为:

①题目错了,大概率遗漏了条件“E为AC中点”;

②即便已知“E为AC中点”,也非使用勾股定理和三角形全等等超纲知识不可?

★是否遗漏了条件“E为AC中点”?

使用三角形全等,不难证明:E为AC中点!故此题无误,也并没遗漏条件!

但即便是中学生,也未必能做出来!

★作为小学竞赛题,为了降低难度、最好将“E为AC中点”作为已知条件!

★是否非用三角形全等和勾股定理不可?

不用三角形全等和勾股定理也能求解!

★难点:不使用三角形全等和勾股定理等初中知识,如何求解?

利用图形旋转和图形对称性,或可求解!

二、适合小学生的解析

第一步:说明E为AC中点(不使用三角形全等)

①过点E分别作AB和BC的垂线EG和EH,如图二

图二

②将△DEG绕点E逆时针旋转90°至DE与EF重合,旋转后的△DEG记为△FEG'。

③注意到注意到∠DEF=∠GEH=90°,故∠EDG=∠EFH。

④∠EFG'=∠EDG=∠EFH,故G'必在BC上,也即G'与H重合。

⑤因此旋转后的△DEG、与△FEH重合,从而EG=EH,DG=FH,且四边形BGEH为正方形。

⑥连接BE(如图二),则∠EBG=EBH=45°,从而BE垂直AC,因此E为AC中点。

第二步:说明AD=BF(不使用三角形全等)

①由第一步可知E为AC中点,故AG=BH。

②由①及第一步⑤中DG=FH,可知AD=BF。

第三步:求S△ABC(不使用勾股定理)

①以AB和BC为边作一正方形ABCP,如图三

图三

②延长DE、FE,分别与CP和AP相交于点M各N,如图三

③连接DN、FM和MN,则DFMN为正方形。

④S正方形DFMN=4S△DEF=60。

⑤记AD=a,则S正方形ABCP=9a×a。

⑥S正方形DFMN=S正方形ABCP-4S△BDF=9a×a-4a×a=5a×a=60,也即有a×a=12。

⑦S△ABC=9a×a÷2=54!

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2 阅读:374
评论列表
  • 2024-09-05 08:52

    说的这么牛逼,能不能把每一步所用到的公理定义定理写出来。这样子就确定了没超纲。

    嗄呗 回复:
    这道题的考点就是要证明E为AC的中点;没有这一步,后面的所有计算都没有依据,都是凭想象猜的。
    浅梦易醒 回复: 嗄呗
    E为AC中心点,加上是等腰直角三角形。DF又为1/3。不然确实不行,不管是折叠还是算正方形

贝笑爱数学

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