这是一道海口某小学六年级数学竞赛题,如图一
图一
在等腰直角三角形ABC中,BD=2AD,△DEF也是等腰直角三角形,S△DEF=15,求三角形ABC的面积。
笔者此前已经以“微头条”和图文形式,分别讨论、并分析过此题!本文旨在不使用三角形全等和勾股定理的前提下给出其“不超纲解析”
一、题目分析
★有人说题目错了,也有人说超纲了!
家长群里议论纷纷,很多家长朋友认为:
①题目错了,大概率遗漏了条件“E为AC中点”;
②即便已知“E为AC中点”,也非使用勾股定理和三角形全等等超纲知识不可?
★是否遗漏了条件“E为AC中点”?
使用三角形全等,不难证明:E为AC中点!故此题无误,也并没遗漏条件!
但即便是中学生,也未必能做出来!
★作为小学竞赛题,为了降低难度、最好将“E为AC中点”作为已知条件!
★是否非用三角形全等和勾股定理不可?
不用三角形全等和勾股定理也能求解!
★难点:不使用三角形全等和勾股定理等初中知识,如何求解?
利用图形旋转和图形对称性,或可求解!
二、适合小学生的解析
第一步:说明E为AC中点(不使用三角形全等)
①过点E分别作AB和BC的垂线EG和EH,如图二
图二
②将△DEG绕点E逆时针旋转90°至DE与EF重合,旋转后的△DEG记为△FEG'。
③注意到注意到∠DEF=∠GEH=90°,故∠EDG=∠EFH。
④∠EFG'=∠EDG=∠EFH,故G'必在BC上,也即G'与H重合。
⑤因此旋转后的△DEG、与△FEH重合,从而EG=EH,DG=FH,且四边形BGEH为正方形。
⑥连接BE(如图二),则∠EBG=EBH=45°,从而BE垂直AC,因此E为AC中点。
第二步:说明AD=BF(不使用三角形全等)
①由第一步可知E为AC中点,故AG=BH。
②由①及第一步⑤中DG=FH,可知AD=BF。
第三步:求S△ABC(不使用勾股定理)
①以AB和BC为边作一正方形ABCP,如图三
图三
②延长DE、FE,分别与CP和AP相交于点M各N,如图三
③连接DN、FM和MN,则DFMN为正方形。
④S正方形DFMN=4S△DEF=60。
⑤记AD=a,则S正方形ABCP=9a×a。
⑥S正方形DFMN=S正方形ABCP-4S△BDF=9a×a-4a×a=5a×a=60,也即有a×a=12。
⑦S△ABC=9a×a÷2=54!
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说的这么牛逼,能不能把每一步所用到的公理定义定理写出来。这样子就确定了没超纲。