Fréchet导数的定义
线性算子通常指的是在两个向量空间之间的线性映射，而这里的导数是指Fréchet导数。
按照Fréchet导数的定义：
对于映射f: X → Y，其中X和Y是Banach空间，Fréchet导数在点x处的导数Df(x)是一个线性算子，满足当h趋近于0时，f(x + h) - f(x) - Df(x)(h)的范数除以h的范数趋近于0。
如果f本身是线性算子，那么f(x + h) = f(x) + f(h)，因为线性性质。
这时候，比较定义的话，余项就是f(x + h) - f(x) - Df(x)(h) = f(h) - Df(x)(h)。
为了让余项相对于h的范数趋近于0，需要Df(x)(h) = f(h)，也就是Df(x) = f，这里的Df(x)是一个线性算子，所以对于所有h来说，Df(x)(h) = f(h)，这说明Df(x)就是f本身，而且这个导数在每一点x处都是相同的，因为线性算子的导数不依赖于点的位置，所以无论x在哪里，导数都是f自己。
参考微分的几何意义：
总结来说，证明步骤如下：
根据Fréchet导数的定义，写出余项表达式。利用线性算子的线性性质，简化余项。展示余项相对于h的范数趋近于零，从而证明导数即为原算子。强调导数在所有点都相同，这是线性算子的特性。可能还需要对比函数的情况，比如e^x的导数也是自身，但这里的线性算子情况更一般，且证明方法不同，因为e^x的证明通常涉及级数展开或微分方程，而线性算子的导数则是基于其线性结构的直接结果。
