如果函数f在点x处是Fréchet可微的，那么是否成立f'(x)h = f'(x)(h1, 0) + f'(x)(0, h2)，
其中h=(h1, h2)。
首先，回忆一下Fréchet导数的定义和性质，尤其是涉及多变量时的线性性。
Fréchet导数的一个关键性质是它是一个线性映射。也就是说，当f在x处Fréchet可微时，其导数f'(x)是一个线性算子，作用于增量h上。对于多变量的情况，比如h=(h1, h2)，这时候可能需要分解h为两个部分，比如h1沿第一个方向，h2沿第二个方向。
这里将h分解成(h1, 0)和(0, h2)，然后将导数作用于这两个分量再相加。这时候需要考虑线性算子的叠加性。因为线性算子的一个基本性质是满足加法齐次性，也就是L(a + b) = L(a) + L(b)。所以如果f'(x)是线性的，那么f'(x)(h1, h2)应该等于f'(x)(h1, 0) + f'(x)(0, h2)。不过，我需要验证这一点是否正确。
例如，假设f是定义在R²上的函数，x=(x1, x2)，而h=(h1, h2)。Fréchet导数f'(x)应该是一个线性映射，可以表示为一个矩阵（比如Jacobian矩阵）。这时候，当应用这个导数到h上时，矩阵乘以向量h的结果就是各个偏导数与h的分量的线性组合。
比如Jacobian矩阵J = [∂f/∂x1, ∂f/∂x2]，那么f'(x)h就是∂f/∂x1 * h1 + ∂f/∂x2 * h2。
那么分解h为(h1, 0)和(0, h2)的话，分别应用导数的话，应该是
J*(h1,0) = ∂f/∂x1 * h1，J*(0, h2) = ∂f/∂x2 * h2，然后两者的和也就是总的结果，
即J*h = ∂f/∂x1 h1 + ∂f/∂x2 h2。所以显然这两者是相等的。
因此，这说明如果f在x处Fréchet可微，那么其导数作为线性映射，确实满足分解后相加的性质。
根据Fréchet导数的线性性质，以下结论成立：
总结：
因为Fréchet导数作为线性映射，满足线性叠加性，所以将h分解为两个方向的分量分别作用后再相加，结果应该等于直接作用在h上的结果。Fréchet导数的线性性保证了方向分量的可加性，因此原等式成立。
