解:看一下这道题的第(2)问,是典型的无刻度直尺网格作图,作图的本质是利用几何图形的性质来进行线段、角度间的转化。
分析一下这道题如何做:
1、首先根据逆推思维,要作△CPQ为等边三角形,而我们已知△CAB为等边三角形。两个等边三角形共顶点,形成一对手拉手全等三角形。那么我们将草图画出来,分析一下有什么样的结论,可供我们入手。
2、如上图:
①因为△CAP≌△CBQ,则∠ACP=∠BCQ=α;
②CQ与圆交于点E,则弧BE等于弧AD;
③我们根据同弧或等弧所对圆周角相等,则连接AE、BD,则有∠EAB=∠ABD=α;则AE∥BD;
④到此为止,我们其实就是要解决第一个问题,过点A作BD的平行线与圆相交于点E,因为点Q在射线AE上;
⑤所以,这道题解决第一个问题,如何过点A作出BD的平行线?
3、如上图
①通过观察网格图,我们可以发现黄色三角形是全等的,即能得到点F为线段AB的中点;
②我们再观察网格图,能得到两个蓝色的三角形也是互相全等的;
③此时,我们能得到四边形AFBG为平行四边形;
④所以我们延长AF与圆交于点E,则E点即为我们所有;连接CE,则Q点一定在CE上;
⑤接下来我们需要进一步发现点Q的特征,所以我们需要接着研究第一个图。
4、如上图
①由△CAP≌△CBQ,则∠CBQ=∠CAP=60°;
②又因为△ABC为等边三角形,则∠CBA=60°;
③所以我们发现画着?的这个角也是60°;
④这道题就转化为过点B作一条直线与AB的夹角为60°;
⑤这条直线如果作出来,与上面CE的交点即为我们所求的Q点。那么这个60°角如何作呢?
5、如上图
①由上面的结论,我们可知F点为AB的中点;
②通过观察网格图,找到M点,延长MF与网格交于点H;
③则两个蓝色的三角形全等;此时可以证得四边形MAHB为平行四边,即∠ABH=∠A=60°;
④BH即为我们所求的直线;与AE交于点Q即为所求;
6、总结作图步骤
①连接BD与网格交于点G;
②延长GF与网格交于点N;
③延长AN与圆交于点E,作直线CE;
④找到点M,延长MF与网格交于点H;
⑤作直线HB与直线AE相交于点Q,即为所求。