所以说数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
普罗克洛斯(Proclus,410-485)
山峰之巅的月亮
一次不定方程有悠久历史，在西方最早见于丢番图的著作中。虽然丢番图研究不定分析问题取得了丰富成果，展现了高超的解题技巧，但是没有掌握深刻的数学原理，不能产生普适的数学结论，局限于一题一法。欧洲直到18世纪，数学大师欧拉(1707～1783)才首次提出一次不定方程的一般解法。接下来介绍高斯的经典著作《算术研究》记载的渐近分数解法。
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现在剩下的事是补充一些关于如何求解同余方程的知识。
首先我们观察到：假设模与a互质，形如ax＋t≡u的同余方程的解依赖于ax≡±1；因为如果x≡r满足后者，x≡±（u-t）r就满足前者。因为同余方程ax≡±1（mod b）等价于不定方程ax＝by±1，并且我们现在已经熟悉如何求解这种方程，所以我们只要写出求解不定方程的算法即可。
......
当α，β，γ，…，μ，n项数为偶数，我们就有ax＝by＋1；当α，β，γ，…，μ，n项数为奇数，ax＝by-1。证明完毕。
条目28
欧拉是提出这种类型的不定方程的通解的第一人。在他的方法中，他用其他变量代替x，y，现在这个方法大家很熟悉。拉格朗日处理这个问题的方法有些不同。正如他指出的，从连分数的理论可知，如果分数b/a可以变换为连分数
连分数·算术研究
此处应该有图片(连分数·算术研究)
并且，如果把最后部分删去，结果就变回普通分数x/y。当a和b互质，即ax＝by±1。而且，从两种方法可以推导出同样的算法。拉格朗日的研究出现在Hist. Acad. Berlin(1767)第173页，以及他为欧拉的《代数》法语译本所写的附录上。
以上引自高斯原著《算术研究》，重庆出版社2020年版。
例题1 求方程31x+12y=365的全部整数解。
题目解析：因为31和12互质，所以方程有解，有无数个整数解。如果方程ax+by=c，未知数系数a和b不是互质的，存在最大公约数d，那么c能够被d整除则方程有整数解，不能被d整除则方程无整数解。也就是说，如果方程不能化成d(a₁x+b₁y)=c₁d(所有字母都是整数)，则方程没有整数解。
高斯指出，解方程的关键在于求出aq-bp=±1。
第一步，把a/b展开为连分数[a₀;a₁,a₂,a₃,...,aₙ]。
31/12=[2;1,1,2,2]
第二步，把连分数[a₀;a₁,a₂,a₃,...,aₙ]去掉最后一项，得连分数[a₀;a₁,a₂,a₃,...,aₙ₋₁]，化简为普通分数p/q.这个分数称为渐近分数，有的国外数学书把渐近分数称为收敛子。
[2;1,1,2]=13/5
1+½=3/2,再求倒数得2/3，再+1得5/3，求倒数得3/5，再+2得10/5加3/5即得13/5.
第三步，把p和q的值代入方程aq-bp=±1.高斯指出，如果渐近分数的项数为奇数，则方程右边为-1，项数为偶数，方程右边为+1.
31q-12p=-1，即
31×5-12×13=155-156=-1
第四步，用方程的左边乘以原方程的右边，并引进参数t，即可求出全部整数解。
按以上步骤操作，先求
31q-12p=±1
∵31/12=[2;1,1,2,2]
∴p/q=[2;1,1,2]=13/5
即p=13，q=5
因为商数列1，1，2有3项(项数为奇数)，所以31q-12p=-1，从而
31(12-q)-12(31-p)=1，即
31u-12v=1
u=12-q=7，v=31-p=18
所以
x=cu-bt=365×7-12t=2555-12t
y=at-cv=31t-365×18=31t-6570
当aq-bp=1时，可以得到不定方程的全部整数解如上图所示
渐近分数[2;1,1,2]分号后面假如有偶数项，则有aq-bp=1
例题的不定方程有特定含义的，是由猜生日的游戏产生的。x代表某月，y代表某日。所以x是1到12的某个自然数，y是1到31的某个自然数。
现在我们来求方程的最小正整数解，揭晓这个日期：
当t=212时，x=？y=？
答案见下图，代表某月某日。
知识概括连分数理论和辗转相除法
中学数学删除了连分数的内容，这是一个遗憾。在高等数学里，连分数是很有用的重要的数学工具。
求a和b的最大公约数常用辗转相除法(国外称为欧几里得算法)
做一个带余除法，可得下式：
(1) a=a₀b+r，0≤r≤b.
上面的(1)式是最基本的式子，辗转相除法的灵魂。
可以这样理解，被除数=商×除数+余数。
一般理论是把辗转相除法写成
a=a₀b+r，
b=a₁r+r₁，
r=a₂r₁+r₂，
r₁=a₃r₂+r₃，
......
rₙ₋₁=aₙ₊₁rₙ+rₙ₊₁，
rₙ=aₙ₊₂rₙ₊₁.
最大公约数d=rₙ₊₁
即gcd(a，b)=d=rₙ₊₁
小学数论有一个漂亮的公式：
a和b的最大公约数(greatest common divisor)记作gcd(a,b)
a和b的最小公倍数(least common multiple)记作lcm(a,b)
举个例子，请看下图：
求31和12的最大公约数过程如下：
31=2×12+7
12=1×7+5
7=1×5+2
5=2×2+1
2=2×1
或者写成
gcd(31,12)=gcd(12,7)=gcd(7,5)=gcd(5,2)=gcd(2,1)=1
括号里面的两个数越来越小，当两数成倍数关系时，较小数就是最大公约数。
由辗转相除法的商数列可知，分数31/12的连分数展开为
31/12=[2;1,1,2,2]，这是一个4阶连分数，依次分段截取得到3个渐近分数：31/12≈[2;1]和
31/12≈[2;1,1]及31/12≈[2;1,1,2]。
化简后这三个渐近分数是3/1和5/2及13/5，它们交替从上方和下方逼近准确值31/12，误差越来越小，正偏差和负偏差交替出现。所以渐近分数这个命名很生动形象。
一个有理数总是可以在有限步骤内展开为连分数。
要点1：一个分数取倒数就是分子和分母对调位置；
要点2：连分数的分子都是1；
要点3：分子如果不是1就进行取倒数的操作；
要点4：分母为整数+分数；
要点5：分子出现1意味着两数成倍数关系，连分数的展开到此为止。
总结和回顾现在谈谈以上解法的原理和依据，介绍三个定理。
辗转相除法不但给出了求最大公约数d(可能是1)的高效算法，还可以帮助我们找到m和n，使得am+bn=d。
定理1 如果gcd(a,b)=d，则存在m、n，使得am+bn=d。
例二 找到方程42897m+18644n=79的整数解。
42897=2×18644+5609，(i)
18644=3×5609+1817，(ii)
5609=3×1817+158，(iii)
1817=11×158+79，(iv)
158=2×79.
所以有
42897/18644=[2;3,3,11,2]
=543/236
m/n=[2;3,3,11]=260/113
即m=-113，n=260.
260×18644-113×42897=79
这个定理有一个特例，当d=1时，有
推论 如果a，b互质，则一定存在p，q∈Z，使得aq+bp=±1.
利用渐近分数可以求得p，q。我们已经知道，1的符号取决于渐近分数的项数的奇偶性。
举个例子。47x+17y=168
更正：应为a/b=47/17
解：47/17=[2;1,3,4],渐近分数是[2;1,3]=11/4,因为项数为偶数，所以得到+1，即
47×4-17×11=188-187=1.
当aq+bp=1时，方程ax+by=c的整数解为：x=cq-bt，y=at-cp；
当aq+bp=-1时，方程ax+by=c的整数解为：x=bt-cq，y=cp-at；
定理2 如果a，b互质，c∈Z，则一定存在整数x，y，使得ax+by=c成立。
这个定理是我们解不定方程的理论依据，解决了确定一个不定方程是否有整数解的问题。
定理3 如果a，b互质，且a，b，c∈Z⁺，已知方程ax+by=c有一组整数解：x=x₀和y=y₀，则方程的全部整数解为：x=x₀-bt，y=y₀+at，t∈Z。
我们知道不定方程有无穷多组整数解，这个定理解决了求方程所有整数解的问题。
这个定理容易理解。已知ax₀+by₀=c成立，那么，
a(x₀-bt)+b(y₀+at)=c显然也成立。
所以，欲求ax+by=c的整数解，可以先求aq+bp=1这一组整数解。
比如利用渐近分数得到一组整数解x=q，y=-p，那么立即得到ax+by=c的一组整数解为
x₀=qc，y₀=-pc，从而得到全部整数解为：
x=x₀-bt，y=y₀+at，t∈Z。
我国古代数学家在《九章算术》的年代就有不定方程的应用题。南宋数学家秦九韶给出了不定方程的一般解法：当a和b互质时用大衍求一术解，当a和b不互质时，用大衍总数术解。
印度数学家因为天文学的需要，对不定方程研究造诣颇深。婆什迦罗在他的著作《丽罗娃蒂》中解不定方程的一般解法称为“库塔卡”，本质同于辗转相除法。
一次不定方程和一次同余式有密切关系，请大家参阅《算术研究》或陈景润的《初等数论》等相关的数论著作。
再看一道例题结束本文。例2求方程47x+17y=1的全部整数解。
解 47/17=[2;1,3,4]
p/q=[2;1,3]=11/4，即
47×4-17×11=188-187=1
所以
x=4-17t，y=47t-11.
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
