三维空间中，一个曲面如果去掉三维空间的框架，仅剩下曲面本身，那么这个曲面就是一个二维流形。在这个二维流形上，每个点都可以通过局部拉直的操作与一个平面（即欧几里得空间中的一个开集）建立同胚关系，这个局部拉直的操作和对应的平面就构成了一个坐标卡。由于流形上的每个点都位于不同的位置，因此它们所对应的局部坐标区域和坐标卡也会不同。
再看坐标函数的定义：
定义中，φ表示映射关系，δi则是坐标函数。参考上图，φ表示空间曲面(微分流形)中的某一点与欧氏二维平面中的某一点的对应关系，而δi则是在这种对应关系建立以后，获得这一点在欧氏空间的坐标xi。
因为每一小块在投影的时候具有不同的角度γ，因而φ是变化的，从而δi得到的坐标也是变化的，也就可以把δi看作是一种以流形中的点为参数的变化函数，或者是以φ为参数的函数。
对于一个子集U来说，φ是固定的，从而
是U的局部坐标函数。
