可数公理是拓扑空间中的两个重要概念，包括第一可数性公理和第二可数性公理。
第一可数性公理
定义：一个拓扑空间X如果在其每一个点x上都有一个可数邻域基，即存在一个可数集合B，使得x的任意邻域都包含B中的至少一个元素，则称X满足第一可数性公理，或称为第一可数的。
第二可数性公理
定义：如果一个拓扑空间X有一个可数拓扑基，则称X满足第二可数性公理，或称为第二可数的。
性质：
实直线R是第二可数的，因为其拓扑基可以由形如(a,b)且a,b为有理数的集合构成，这样的集合是可数的。度量空间不仅是第一可数的，也是第二可数的，因为其拓扑基可以由形如B(x, 1/n)的集合构成，这些集合是可数的。
这个证明的思想很简单，首先因为Ui是可数的，而最后证明W又可以通过Ui的并集得到，所以W也是可数的。
注意，商集合并不是原集合的一部分。商集合是由原集合上的等价关系导出的集合，它包含的是原集合中所有具有相同等价关系的元素的集合，而不是原集合中的某些特定部分。商集合中的每一个元素都是一个等价类，这些等价类是由所有与原集合中某个元素等价的元素组成的。
习惯一个人
分享一个我自以为很奇妙案例供大家参考。 陀螺仪在当今社会应用很广，陀螺仪其中一个基本特性：定轴性，当陀螺转子以高速旋转时，在没有任何外力矩作用在陀螺仪上时，陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变，即指向一个固定的方向；同时反抗任何改变转子轴向的力量。这种物理现象称为陀螺仪的定轴性或稳定性。其实以上的基本特性描述是不严谨的，以上的基本特性描述是只有在转子轴向在大于0度小于90度范围内才可以成立的，在大于等于90度小于180度范围内是不成立的，在夹角等于90度时反抗任何改变转子轴向的力量大小和方向无法确定（有点像薛定谔的猫），当夹角稍微大于90度时反抗任何改变转子轴向的力量大小和方向确定，不在是保持陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变，而是指向一个固定的相反方向，明显可以重复观察到，网上有卖金属倒立自动翻转陀螺可供参考，是最典型的实践证据。自动翻转陀螺在翻转的同时重心增高，势能变大，传统物理学理论无解。 陀螺仪的定轴性，在反抗任何改变转子轴向过程中如果不存在重力以外的外力，定轴性表现是和轴向角动量守恒是冲突的。研究结果可以理论个实验重新定义 时间 和 空间。