三角形两腰和与两腰差之比等于两个底角的半角和的正切与半角差的正切之比
科学计算器上有三个三角函数的按键，那就是sin和cos以及tan。这是在暗示我们，虽然三角函数有六个或者八个，但是这三个三角函数的重要性不言而喻。与之对应，有大名鼎鼎如雷贯耳的正弦定理和余弦定理，那么有没有正切定理呢？当然有啦。1580年，韦达给出了一个漂亮的定理，也就是正切定理。遗憾的是，现在的教科书上已经几乎找不到它了。这个定理是说，在任何三角形中(等边三角形排除在外)：设两腰为a和b，对角为α和β，则有
写出公式(1.1)以后，可以通过循环置换得到公式(1.2)和(1.3)
这个定理可以从正弦定理a:b:c=sinα:sinβ:sinγ和三角恒等式(2)推导出来，但是在韦达那个年代，它被视为一个独立的定理。当三角形的两边及其夹角已知(SAS)的情形，这个定理可以用来解三角形。在这种情况下，我们通常会用余弦定理(c²=a²+b²-2abcosγ)来求第三边，然后再用正弦定理求出未知的角。但是由于余弦定理包含加法和减法，因此不容易用对数来做计算(在计算机发明之前，对数实际上是解三角形的唯一方法)。用正切定理就可以避开这个困难：不妨设角γ是已知的，进而求出½(α+β)利用公式(1)和正切函数表我们可以求出½(α-β)。从这两个结果可以得到角α和角β，而未知边则可以用正弦定理求出。
有了科学计算器之后，这些当然都不再需要了。或许这也解释了为什么正切定理失去了大部分的吸引力。不过，它简洁对称的形式使它从遗忘中重生。即使不作为定理，也可以当中习题。
对于那些喜欢玩弄数学谬误，喜欢用错误的方法得到正确结果的人(例如非法约分16/64)，正切定理提供了实验机会：从公式(1)的右边开始，消去½和tan，然后把希腊字母用相应的拉丁字母替换，就可以得到左边。
以上内容引自《三角之美：边边角角的趣事》，作者是[以色列]伊莱·马奥尔，译者是曹雪林和边晓娜，人民邮电出版社2018.12
推导正切定理发现了杠杆原理的阿基米德骄傲地宣称：给我一个支点，我能撬动地球。
凡事都需要一个支点。我们推导韦达发现的正切定理也需要一个支点，那就是大家熟悉的正弦定理。
中学的比例理论大家是否还记得？
应用对应项的和差比例法则及加法定理，我们可以推出：
分子和分母同时除以下图所示的表达式，
就得到关于边a和b的正切公式，用循环置换得到其余几对边之间的相应公式：
在上面的公式中，tan½(α-β)是未知数，其余三项都是已知数，所以常用下面的公式解题：
这三个公式写出一个，就能循环置换得到另外两个
从两条边(例如a和b)以及夹角(例如γ)就可以使用以上公式求得其余两个角(α和β)：α和β的半角和
注意字母，左边是未知角，右边是已知角。(α和γ字母应该对调一下)
由夹角给出，而半角差½(α-β)由正切定理给出，从半角和½(α+β)=ξ和半角差½(α-β)=η，就得到α=ξ+η，和β=ξ-η。
正切定理的应用在三角形ABC中，已知两边和夹角，可以使用余弦定理或正切定理解三角形。
在三角形ABC中，已知b、c和α的值，那么由余弦定理给出a²=b²+c²-2bccosα，并得到唯一的值
从余弦定理也能唯一地定出角β，即从
可定出β。但是一般我们使用正弦定理
来得到β，满足这个方程的两个角β₁和β₂中只有一个角适合于几何条件。
根据三角形内角和定理得到
并由正切定理得到
需要相应调整字母位置
就能求出角β和角γ的值。用正弦定理能定出第三条边的值：
【例题】R和S两地之间沿着直线敷设一条电缆。因两地之间有一片林区，使它们不能互相看到。但能找到一点A，可测出A跟这两地的距离分别是
d=|AR|=2.473英里和e=|AS|=3.752英里，以及夹角τ=∠RAS=42°26′10″(见图11.2-5)，问电缆的长度x应为多少，以及从R，S应该分别沿着什么角度ε，δ敷设才行？为了进行比较，给出两种解法：
这两个结果有些不一致。其原因(在导论中详细讨论过)是在90°邻域里，由正弦函数的值来确定角度时精度较差：sin96°40′00″=0.99324，sin96°40′10″=0.99323，sin96°40′20″=0.99323；根本定不出秒的数值是多少。在这种情况下，如果用余弦定理来计算角度ε，就能够得到较高的精度。我们得到唯一的值cosε=-1.464462/2(2.549)(2.473)或者ε₂=96°40′14″，这就跟从正切定理得到的值相当接近。因此从余弦定理得到的解是：x=2.549英里，ε₂=96°40′14″，δ₂=40°53′36″。
例题选自德国1975年出版的《简明数学全书》(Ⅰ.基础数学)，本书由上海科学技术出版社1981年引进出版。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
陈能杰
手机很难打出数学符号和数学公式