在平面几何证明题中,常常会遇到这样一类问题,平面图形的某些元素在变化,而另一些元素(如点、线段、角等)保持不变,研究这些不变量,称为定值问题。
平面几何定值问题,有两种情形,一种是给出条件,给出定值;另一种是给出条件,但未给出定值,此时如何探求出这个定值是证明的关键。
下面通过一些典型问题来说明如何证明定值问题:
1、如图,等边△ABC,边长为a,P为三角形内任意一点,PD∥AC交AB于点D,PE∥AB交BC于点E,PF∥BC交AC于点F。求PD+PE+PF的值。
解题过程如下:
第一步:辅助线如图所示;
第二步:容易证得△DGP、△PEH、△MPF为等边三角形;四边形GBEP、四边形PHCF为平行四边形;
第三步:线段转化,PD+PE+PF=PG+EH+PF=BE+EH+HC=BC为定值。
总结:不管P在三角形内部哪个位置,PD+PE+PF的值始终为定值,等于等边三角形的边长。
2、如图:等腰△ABC,AB=AC,点P为底边BC上一点,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,求PD+PE的值。
利用等面积法解题:只要△ABC确定,则PD+PE的值为定值。