由于微积分的发明，数学在其精巧性上得到了一个巨大的飞跃。这些思想成了数学的一个广阔领域（分析）的基础。

我们是怎样知道2的平方根的？我们现在知道，2的平方根是一个无限不循环小数，趋近于一个实数x，我们无法真正地写出x的值。通过逼近法，我们大概知道x=1.4142135……。

另外，我们如何用直尺测量一条曲线的长度？通常做法是，先沿着曲线画几个点P_0，P_1，P_2，…，P_n，然后，测量P_0到P_1的距离、P_1到P_2的距离，直到P_n。最后把这些直线距离打起来。如果点足够多，分布又平均，测得的距离值就是一个很好的近似。此外，这种方法还能给出“准确长度”的意义：如果取无限多个点，那么长度会趋近某个数y。这时，我们知道曲线的确切长度是y。

以上连个例子中都涉及到一个数x，y，这两个数是通过“逼近法”得到的。但是逼近一词的意义有些含糊，把它定义清楚很重要。

下面两个例子非常重要，建议熟记于心。第一个是序列

在某种意义下可以说这个序列趋近于1，因为每一项都比前一项离1更近。但是我们所谓的趋近于1并不是这个意义，关键并不在于离1越来越近，而在于能够任意地接近，只有一个数值是这个序列所要趋近的，它显然就是“极限1”。

第二个例子用一种不同的方式说明这一点，

这些数趋近于0，虽然每一项并非每一项都比前一项更接近0。然而，有一点是真的，这个序列最终离0要多近有多近，而且以后一直至少那么近。

“要多近就有多近，而且以后一直至少那么近”这句话就是极限的数学概念的定义。

数列a_1，a_2，a_3…的极限是l，如果这个数列最终会离l要多近就有多近，而且以后一直至少那么近。

然而，我们要把这句话翻译成数学语言。

设δ为一正数（通常设想它很小），如果a_n与l的距离

小于δ，就说数列δ-逼近于l。说这个数列最终δ-逼近于l而且以后一直至少那么近，这又是什么意思呢？这就是说“从某一点往后，所有的a_n都δ-逼近于l”。什么叫做“从某一点往后”呢？就是说有一个数N具有以下性质∶从N 往后，a_n都会δ-逼近于I，用符号来写，就是

还有弄清楚，“要多近就有多近”是什么意思，这就是说对于任何一个你想要指定的δ，这个句子都成立，用符号来写就是

最后，翻译翻译什么是δ-逼近于l，用符号来写就是

极限的概念用于比数广泛得多的范围。如果有一族数学对象，又能够说得出任意两个这种对象的距离，就可以说，这种对象的序列有极限的问题。两个对象，如果其距离小于δ，就说它们是δ-逼近的。例如空间里的点的序列可以有极限，函数序列也可以有极限。一个进一5步的例子来自分形理论，在那里出现的很复杂的图形最好是定义为较简单的图形的极限。

假设您想要知道 π²的近似值，也许最简单的是在计算器上按下按钮 π，显示出3.1415927，然后再按x²按钮，又得出9.8696044。计算器并没有对π做出准确值的平方，相反，它只是做了3.1415927的平方。为什么计算器做了一个错误的数的平方而不会出什么问题呢？我们怎么能知道，如果x是π的一个好的近似，那么x²也会是 π²的一个好近似值呢？

如果x是π的一个好的近似，就可以写出x=π＋δ，而δ是一个很小的数，于是

因为δ很小，所以2δπ＋δ²也很小，于是x²也就是π²的好近似值。

是什么使得上面的推理有效？那就是把x变为其平方的函数是连续的。粗略地讲，这意味着如果两个数很接近，则它们的平方也很接近。

为了把连续性说得更精确一点，我们现在回到π²的近似计算，而且设想我们希望把它做得精确得多——例如使得小数点后的前100位数都是正确的。这时计算器不会有大的用处，但是我们可以找到π的十进小数展开式的各位数值（可以在网上找到这样的值，它可以告诉你至少5000万位），用它来作为新的x，这个x 是π的一个好得多的近似值，用电脑来做必要的很长的乘法，就能得出新的x²。

如果想要x²是π²的误差在10^（-100）之内的近似值，x需要接近π到何种程度？为了回答这个问题。再令x=π＋δ，于是x²-π²=2δπ＋δ²，做简单计算就知道，如果δ的模小于10的-101次方，则这个差的模就会小于10的-100次方。所以，只要取π的前101位小数正确就行了。

比较一般地说，不论我们希望对π²的估计多么精确，只要使得x是π 的一个充分好的近似，就总能够达到这个精确度。用数学的语言来说就是∶函数f（x）=x²在π点是连续的。

让我们用符号来说明这一点。“在精确度ε之内，x²=π²”这个命题的意思是

所谓使x²=π²达到任意的精确度，就是要求上述不等式对于任意的ε都成立。所以，我们应该先说Vε>0。现在再来看“使得x是π的一个充分好的近似”这句话，这里面的思想就是有一个 δ > 0，使得只要x离π之差在δ之内，则可以保证近似的精确度在ε之内。这就是说，存在一个δ>0，使得若|x-π|<δ，就可以保证|x²-π²|<ε。把这一切都放到一起，就得到下面的符号语句∶

用通常的语言来说就是∶"给定任意正数ε，必有一个正数δ，使得若|x-π|小于δ，则有|x²-π²|<ε。"

我们已证明了函数f（x）=x²在点x=π处连续。现在我们把这个概念加以推广∶令f为任意函数，而a为任意实数。我们说f在a处连续，如果

说函数f是连续的，就是说它在每一点a处都连续。粗略地说，就是f没有“突然的跳跃”。

和极限的情况一样，连续性的思想也可用于更一般的场合下，而且理由也相同。 令 f 是由一个集合 X 到另一个集合 Y 的函数，而且设有两个距离概念，其中一个适用于 X 的元素，另一个适用于Y 中的元素。用 d（x，a）表示x和a的距离，d（f（x），f（a））表示f（x）和f（a）的距离，我们说f在a处连续，如果

而如果f在X的每一点a都连续，就说f在X上连续。

连续函数也和同态一样，可以看成是保持了某种结构的。可以证明，一个函数在 a 点连续当且仅当 a_n →a 时必有 f（a_n）→f（a）。这就是说，连续函数就是那种保持由收敛序列及其极限所提供的结构的函数。

函数f在a点的导数，是衡量f（x）在x通过a点处的变化率的一个数。现在我们要推介一种稍有不同的看待它的方法，这个方法更为一般，而且打开了通向很大一部分现代数学的门户。这个思想就是微分作为一种线性近似。

直观地，f'（a）=m就是说，如果用一个非常强大的显微镜在包含点（a，f（a））的一个微小的区域里去观看 f 的图像，则我们看到的，几乎恰好就只是一条梯度（即斜率）为m的直线。换句话说，在点a的充分小的邻域里，函数f近似地为线性函数。我们甚至可以把这个作为f的近似的线性函数g写出来∶

这是过点（a，f（a））而梯度为m的直线的方程。另一个比较清楚的写法是

说g在点a的一个小邻域里逼近 f，就是说当 h 很小时，f（a ＋ h）近似地等于f(a)+mh。

在这里必须小心一点∶只要f不发生突然的跳跃，则当h很小时，f（a＋h）总是很接近于f（a），而 mh 总是很小，从而 f（a＋h）总是近似地等于f（a）＋mh。似乎不论m是什么数都是可以的，然而我们需要了解的是，当m=f'（a）时，会发生什么特别的情况。把m=f'（a）这个特殊的值单独提出来，并不仅仅在于f（a＋h）接近于f（a）＋mh，而且在于它能够使二者接近到这样的地步，即差ε（h）=f（a＋h）-f（a）-mh比h更小。就是说当h→0时，ε（h）/h→0。

这些概念能够推广的理由是∶线性映射的概念并不简单地只是一个由R到R 的形如 g（x）=mx＋c的函数，它还要广泛得多。在科学、工程、经济和许多其他领域里出现的函数都是多元函数，所以可以看作是定义在一个维数大于1的向量空间里的函数。只要采用了这种观点，立刻就会问，它们能否在一点的一个小邻域中，用线性映射去逼近。如果能，那就非常有用了，一个一般的函数，性态可以极为复杂，但是如果能用线性函数去逼近它，至少在n 维空间的一个小邻域里，它的性态就容易理解多了。这时，可以用线性代数和矩阵的工具，这些工具会导出切实可行的计算，至少在借助于计算机时，这些计算是切实可行的。

举例来说，想象一个气象学家，他在观测地球上空某个3维区域时，关心风在不同地点的方向和速度的变化。风的性态是非常复杂的，甚至是混沌的，但是为了得到对它的某种程度的掌握，可以这样来描述它。对此区域的每一点（x，y，z），都附加一个向量（u，v，w）代表风在此点的速度，u，v和w就是x，y和z方向的分速度。

现在取三个小数h，k和l，用它们来把点（x，y，z）稍稍变动一下，再来看点（x＋h，y+k，z＋l）。我们希望，在这个新点上风速向量也稍有变化，成为（u＋p，v+q，w＋r）。风速的微小变化（p，q，r）怎样依赖于位置向量的微小变化（h，k，l）呢？只要风不那么像湍流，而h，k 和l又足够小，我们希望这种依赖性大体上是线性的。换句话说，我们希望有某个线性映射T，使得当h，k和l足够小的时候，（p，q，r）大体上就是（h，k，l），注意，（p，q，r）的每一个都依赖于所有的h，k，l，所以就需要9个数才能确定这个线性映射。事实上，我们可以把这个线性映射写成矩阵形式∶

矩阵的各个项a_ij，就表示各个依赖性。例如，若x和z是固定的，也就是若h=l=0，由此可知 a_12就是分量 u 在只有 y 变动时的变率。就是说，a_12是（x，g，z）点处的偏导数

这样就算出了矩阵，采用向量记号更加方便。用黑体的字母x来表示（x，y，z），类似地，用黑体u（x）代表（u，v，w），黑体h代表（h，k，l），黑体p代表（p，q，r）。于是我们所说的就是对于某个比h更小的向量ε（h），有

换一个说法，我们可以写出

这是一个与前面的公式 g（x＋h）= g（x）＋mh＋ε（h）非常相似的公式。它告诉我们，如果对x加上一个很小的向量h，则u（x）的改变大体就是T（h）。

成立，其中ε（h）是一个相对于h更小的向量，则定义u在点x∈R（有上标n）处可微。线性映射T称为u在x点的导数。

无法打出上标，故截图

对一元函数而言，可微可导是一回事；而对多元函数而言，偏导数存在不一定可微。

偏微分方程在物理学中具有极大的重要性，而且启发出了大量的数学研究。这里要讨论三个基本的例子。

第一个例子是热方程，它描述热在一个物理介质里的分布怎样随时间变化，这时会得到下面的方程∶

这里，T（x，y，z，t）刻画位于（x，y，z）处在时刻t的温度。方程左方的

很简单，就是令空间坐标 x，y 和 z 不动而时间t 变化时，温度T（x，y，z，t）的变化率。我们希望这个变化率依赖于什么？热在介质里面传播是需要时间的，虽然在远处（x'，y'，z'）点的温度终究会影响到（x，y，z）点的温度，但是温度正在变化的方式只会受到近于（x，y，z）点的地方的温度的影响，如果就在（x，y，z）很小范围的邻域内，介质温度平均地比在此点热一点，我们就会预期到温度上升，如果冷一点，就预期会下降。

方程右方括弧里的式子出现得很频繁，所以它有一个简写的符号△，定义为

称为拉普拉斯算子。那么，△f关于函数f提供了什么信息呢？答案是∶它告诉我们当这个邻域的大小趋于零时，f在（x，y，z）点的值与它在（x，y，z）点的紧接着的邻域里的平均值的比较。

这一点从公式看并不明显，但是下面的一维情况的论证却给出为什么会有二阶导数出现的线索。令f是一个把实数变成实数的函数。为了得到f在x点的二阶导数的一个好的近似，我们来对小的h看一下以下的表达式∶（f'（x）-f'（x-h））/h。导数f'（x）和f'（x-h）本身又可以分别用（f（x＋h）-f（x））/h和（f（x）-f（x-h））/h 来逼近，把这些近似的式子都代入早前的表达式，就会得到

它就等于（f（x＋h）-2f（x）＋f（x-h））/h²，把它的分子除以2，就得到

这就是f在x点的值与它在两个邻近点x＋h和x-h的平均值的差。

换句话说，二阶导数传递的正是我们需要的思想——在x点的值和在x附近的平均值的比较。值得注意的是，如果f是线性的，则f（x-h）和f（x＋h）的平均值就等于f（x），这与我们熟知的事实，即线性函数f的二阶导数为零是相符合的。

正如我们在定义一阶导数时要用h去除f（x+h）-f（x），使得分子f（x+h）-f（x）不仅自身变得很小 ，而且与 h 的比值有极限。所以，对于二阶导数，用 h² 去除是适当的，因为一阶导数关系到线性逼近，二阶导数关系到二次逼近，准确地说，对于函数f，在 x 点附近，最好的二次近似就是

而如果从一开始f就是一个二次函数，可以验证，这个近似式变成了准确的。

可以追随这类思想来证明，如果f是三个变量的函数，则△f在（x，y，z）处的值确实告诉我们f在（x，y，z）处的值与它在（x，y，z）附近的平均值的比较如何（自变量的个数3在这里没有什么特别，这里的思想很容易推广到任意多个变量的函数）。在热方程里，余下需要讨论的就是参数k了，它量度介质的导热性。

第二个很重要的方程是拉普拉斯方程 △f =0。直观地看，它说的是，一个函数f在一点（x，y，z）的值总是等于它邻域的平均值。如果f是一个变量x的函数，这个方程说的就是f的二阶导数为零。然而，如果f是两个或更多个变量的函数，情况就要灵活多变得多——这函数在某些方向上，可以位于切线上方，而在另一些方向上则位于切线下方。结果是，我们可以对f赋予多种边值条件（就是在某个区域的边界上指定f的值），而且这会有大得多也更加有趣的解的类。

第三个基本的方程是波方程。它的一维情况的陈述是∶它描述连接两点A与B的振动的弦的运动。设用h（x，t）来表示弦在距离A为x处、时刻t时的高度。波方程指出

暂时不去管常数1/v²，方程左方表示弦在离开A点为x处的一小段的（铅直方向的）加速度。这个加速度应该正比于作用于弦的这一小段的力。那么，是什么来决定这个力呢？暂时设弦包含 x 的一小段是直的，则从x 左方来的对弦的拉力与来自x右方的拉力就完全抵消了，而作用的净力为零。这样，问题又一次成了x处弦的高度与邻近的高度平均值的比较，如果弦位于x处的切线的上方，就应该有一个向上的力，如果弦在下方，就应有向下的力。这就是为什么二阶导数又一次出现在方程右方。由这个二阶导数到底能得出多大的力取决于以下因素，例如弦的密度和拉紧的程度，这样在右方就出现了一个常数。因为h和x都是距离，v²就有（距离/时间）²的量纲，这就意味着v是一个速度，事实上，它就是波传播的速度。

类似地，考虑可以给出三维的波方程，我们可以想象到，它应该是

或简单一些写为

还可以写得更简单些

这里□是

的简写。算子□称为达朗贝尔算子。

设有一辆汽车沿直路行驶1分钟，并且给出汽车的起点在哪里，这1分钟内的速度是多少，能不能算出车走了多远？如果在整个1分钟内，速度都是相同的，则问题很简单。但是，若车速是在变化的，问题就比较有趣了。这时，我们不再试图给出准确的答案，而是用下面的技巧去逼近它。

首先，给出汽车在这60秒的每一秒开始时的速度。其次，在每一秒内做一个简单的计算，看看汽车在这1秒之内走了多远。这个技巧就是假设汽车的速度在整个1秒钟之内都等于它在1秒钟之始的速度。最后，把这些距离加起来。因为1秒钟只是很短的一段时间，在这1秒钟之内汽车的速度变化不会太大，所以这个方法会给出相当准确的答案。如果不满意于其准确度，还可以把1分钟分成更短的时间段。

如果你学过初等微积分课程，就会用一种完全不同的方法来解决这个问题了。在一个典型的问题里，会给出速度在时刻t的显示公式（例如at+u），要想算出汽车走了多远，只需要把这个函数"积分"出来，就得到在时刻t 已经走过的距离是

这里的所谓积分就是微分的反运算∶要找出函数f（t）的积分，就是要找一个函数 g（t）使得g'（t）=f（t）。这样做确实是有理由的，因为如果g（t）是走过的距离，而f（t）是速度，那么，f（t）就是g（t）的变化率。

然而，反导数并不是积分的定义。要想知道为什么不是，考虑下面的例子。如果在时刻t速度是

那么走过的距离是多少？我们知道，没有一个"好"的函数（所谓好函数，就是从诸如多项式、指数、对数、三角函数之类的标准的函数“构建”起来的函数）是以

为其导数的，然而这个问题确实是有意义的而且有确定的解答。

为了在这种反导数遇到困难时也能定义积分，我们又得回到前面讨论过的那种糊涂的逼近过程。沿这条思路的一个形式定义是由黎曼在19世纪中叶给出的。为了看清黎曼的基本思想，以及看清积分和微分一样，可以很有用地用于多于一个变量的函数，我们来看另一个物理问题。

设有一块质地不纯的石头，想要通过它的密度来算出它的质量。又设密度并非常值的，而是在整块石头内可以很不规则地变化，甚至石头里面可能有洞，所以在洞的那些地方密度为零。该怎么办？

黎曼的方法是这样的。

第一步，把石头放在一个立方体里面。对于立方体的每一点（x，y，z）都有密度值 d（x，y，z）（如果点（x，y，z）取在石头外部，或在一个洞里，就令密度为零）。

第二步，把这个立方体分成许许多多的小立方体。

第三步，在每一个小立方体里，找出密度最低的点，也找出密度最高的点。令C为一个小立方体，而设其中密度的最小与最大值分别为 a 和b，C的体积则为V，这时，石头的 C 这一部分的质量必在aV和bV之间。

第四步，把这样得到的aV加起来，也把这些bV加起来。 如果总和为M_1和M_2，则石头的总质量就在M_1和M_2之间。

第五步，把小立方体分得越来越小，并且重复上面的计算。这样，M_1和M_2就会变得越来越接近，也就得到了石头质量的越来越好的近似。

类似于此，如果让黎曼来解汽车问题，他也会把这1分钟的时间分成小区间，并且在这些小区间里找出对于每一个小区间的最小与最大速度，就会得到一对数a和b，于是就可以说，汽车在这一小段时间里的距离最少是a，而最多是b。把这样两组数加起来，就可以说，在整个1分钟时间里，汽车走过的距离至少是D_1，而最多是D_2。

在这两个问题里，都有一个函数（密度/速度），定义在一个集合（立方体/1 分钟）上，要求出这个函数在某种意义下的"总量"。我们的做法都是把这个集合分成小的部分，而在这些小部分里都用简单的计算，得出这个量的下方与上方的近似。 这个过程就以（黎曼）积分而闻名于世。若S表示这个集合，f表示这个函数，于是f在S上的总量，就叫做f在S上的（黎曼）积分，并且写作

这里用x 表示S的一个典型的元素。如果在密度的例子里S的元素是点（x，y，z），则可以用 f（x）dx 这样的向量记号，虽然并不常用，读者可以从上下文分清“x”现在是代表向量，还是通常的实数。

我们花了不少功夫来把积分和反导数区分开来，但是有一个称为微积分基本定理的著名定理，断言这两个方法（积分和反导）事实上会给出相同的答案，至少当所考察的函数具有所有的“合理的”函数一定会具有的某些连续性时是这样的。所以，通常都认为把积分看成微分的反运算是合理的。确切些说，如果f是连续的，而F（x）可以对于某个常数a定义为

则F（x）可以微分，而且F'（x）=f（x）。就是说，如果先把一个连续函数积分了，再去做微分，就会得到原来的函数。反过来说，如果F有连续导数f，而a是一个适当选取的数，则

这就是说如果先把F微分了，然后再取积分，就又会回到F。事实上，需要选取一个任意的常数a，而得到的是函数F减去F（a）。

如果不假设连续性，那么会得到什么样的例外，看一下所谓的赫维赛德（Heavi-side）阶梯函数H（z）的例子，就会有一点概念了。当x<0时这个函数为0，而当想x≥0时为1。它在z=0处有一个跳跃，所以在那里是不连续的。当x<0时这个函数的积分 J（x）为0，而当x≥0时为x。对于几乎所有的x值，有J'（x）=H（x）。 然而J（x）的梯度在0处会突然跳跃，所以J在那里是不可微的，因而不能说J'（0）=H(0)=1。

数学王冠上有一颗宝石，就是复分析，它研究的就是变数为复数的可微函数。 这一类函数称为全纯函数。

这些函数一开始看来并没有什么特别的地方，因为在这个情况下，导数的定义也与实变量函数的导数定义一样∶若f是一个函数，它在复数z处的导数定义也是当h趋于零时（f（z＋h）-f（z））/h的极限。然而，如果以稍微不同的方式来看这个定义就会发现，想要一个复函数可微并不那么容易。回想一下，微分就是线性逼近。在复函数情况下这就是说，我们想用形为 g（w）= λw＋μ的函数去逼近f（w），这里λ，μ都是复数（在z点附近，f（w）的这个逼近式就是

所以λ=f'（z），μ=f（z））。

让我们从几何上来看待这里的情况。如果λ≠0，则对（w-z）乘以λ就相当于把它按照某个因子

再将它旋转一个角θ=argλ。 这意味着许多通常被认为是平面上的线性变换，例如反射、剪切、各方向不同的拉伸等等，现在都被排除了。为了确定λ，只需要两个实数，但是要确定平面上的一般的线性变换则需要四个。这种自由度数目的减少将用一组称为柯西-黎曼方程的微分方程来表示。我们不再写f（z）而把它写为

这里x，g分别是z 的实部和虚部，u（z＋iy），v（x＋iy）则是f（z）的实部和虚部。于是f在z点附近的线性逼近具有以下的矩阵∶

缩放和旋转的矩阵形状是

将它与上面的矩阵比较，就得到所谓的柯西—黎曼方程

它的一个推论就是

（并不清楚混合偏导数的对称性是否作为必要条件而成立，但是对于全纯函数，它是成立的）。所以 u 适合拉普拉斯方程。类似的论证表明v也是如此。

这些事实告诉我们，复的可微性是一个比实的可微性强得多的条件，所以可以预期，全纯函数会有许多有趣的性质。

第一，关于微积分基本定理。设F是一个全纯函数，而已知其导数f和F在某个复数 u 处的值，怎样把F 重新构造出来？一个近似的方法如下∶

令w为另一个复数，我们想把F（w）构造出来。取一串点 z_0，z_1，…，z_m，其中z_0=u，而z_n=w。设所有的差

都很小。

由此可知F（w）-F（u）=F（z_n）-F（z_0）可以用

由上面的论证可以得到一个推论∶若路径P从点z又回到同一点，则路径积分为零。就是说，如果f是全纯函数F的导数，则它在任意闭路径上的积分为零。与此等价有∶若两条路径P_1和P_2有相同的起点z和相同的终点w，则

因为它们都等于F（w）-F（z）。这时，我们说如果f是全纯函数F的导数，则它的积分值与积分路径无关。

所有这些结果都是在一个大的假设——f是全纯函数F的导数下才得到证明的。 问题在于如果我们不是假设f是某个全纯函数F的导数，而是假设它本身就是一个全纯函数，以上结果是否仍然成立？复分析里一个可以说是最重要的定理 ——柯西定理告诉我们，这些结果仍然成立。具体说，

为了使以上所说的这些结果成立，并不需要f定义在整个复数平面C上，如果限制f定义在整个复数平面的一个单连通区域，即没有洞的开集合上，则以上的一切都成立。如果区域里有洞，则在两条有相同起点和终点的路径上的积分，当这两个路径合起来包围了洞时，这两个积分的值可以相差一个常数。因此，路径积分与平面的子集合的拓扑学有密切的关系，这一点观察在整个现代几何学里面有繁茂的衍生物。

可以从柯西定理推导出一件惊人的事情，即若f是全纯的，它一定可以微分两次（对于实值函数，这是完全不真的）。由此可得f'也是全纯函数，所以也可以微分两次。继续下去，就知道f可以微分任意次。这样，对于复函数，可微性蕴含无穷可微性。

一个密切相关的事实是，只要一个全纯函数有了定义，就一定能够展开为幂级数。就是说，如果f定义在以w为中心、R为半径的开圆盘上，而且在那里可微，它就一定可以表示为

这个级数在这个圆盘中处处有效，即在此圆盘中收敛。这个幂级数称为f的泰勒展开式。

全纯函数的另一个基本的性质是它的全部性态可以由它在一个小区域里的性态完全决定。这个性质说明了它们是何等地具有“刚性”。由此，如果f和g都是全纯的，而且它们在某个小圆盘内取相同的值，则它们必定有相同的定义域而且处处取相同值。这个值得注意的事实允许定义一种所谓解析拓展的过程∶如果在想要定义一个全纯函数的整个区域上去定义它有困难，那么只需简单地在某个小区域里定义它，然后就可以说，它处处都只能取与已经确定的值相容的唯一的值。著名的黎曼ζ函数通常就是这样定义的。

最后我们还要提到刘维尔的一个定理，这个定理说，如果f是定义在整个复平面上的全纯函数，而且f是有界的（即存在一个常数C，使得对于每一个复数z都有|f（z）|≤C），则f必为常数。例如，函数sinx对于实的x，毫无困难地把有界性与极好的性质连在一起∶它可以展开为一个处处收敛的幂级数（然而，如果用这个幂级数把 sinx 拓展到复平面上，则如刘维尔定理所预期到的一样，所得到的函数就不再是有界的了）。