我们来看一下道中考数学试题。题目呈现：已知x，y是实数，且x+y=4，求证：

x²+y²≥8.

请大家思考一下，几张图片后揭晓答案。我们将用函数思想和数形结合及均值代换这三种方法解题。

以上图片来自《数学辞海》共六卷第一卷之数学分析。

解题思路：由于x+y=4，y=4-x，故x²+y²实际上是x的二次函数，问题就转化为求二次函数的最小值。

证明：设S=x²+y²......①

∵x+y=4,∴y=4-x.

将y=4-x代入①式中得

S=x²+(4-x)²=2x²-8x+16

=2(x-2)²+8.

把S看作x的二次函数，故当x=2时，S有最小值8，

∴S≥8，即x²+y²≥8.

总结：由二次函数的知识可知，二次函数的解析式利用配方法，可以由一般式y=ax²+bx+c改写成顶点式y=a(x-h)²+k，顶点坐标为(h，k)，当a>0时，二次函数有极小值。所以，当x=h时，yₘᵢₙ=k.

巧证：如图所示，设直线y=-x+4与x轴和y轴交于A，B两点，则△AOB是斜边长为4√2的等腰直角三角形。显然，原点O到直线y=-x+4的距离恰好等于Rt△AOB的斜边长的一半。

又根据“垂线段最短”的性质可知，直线y=-x+4上的任一点(x，y)到原点O的距离

∴当x+y=4时，x²+y²≥8.

总结：解法二充分发挥了数形结合思想的巨大威力。欲证x²+y²≥8，∵x²≥0，y²≥0，∴x²+y²≥0，因此将欲证的结果转化为

。这时不等式的左边恰好是点(x，y)到原点O的距离，而x，y又要满足x+y=4，即点(x，y)在直线y=-x+4上。这种思路虽然别出心裁，但不易想到。

通常的思考方法还是转化为二次函数的形式。接下来请看另外一种常用解法。

证明：∵x+y=4，

∴ 设x=2-t，y=2+t(t为实数)，

那么x²+y²=(2-t)²+(2+t)²=8+2t².

由于t²≥0，∴x²+y²≥8.

关于均值代换法再举个例子。

解二次方程x²-6x+8=0.

解：由韦达定理可知，x₁+x₂=6，故可设x₁=3-t，x₂=3+t。

又x₁·x₂=8，故得

(3-t)(3+t)=3²-t²=8

所以t=±1，解得x₁=2，x₂=4.

这种二次方程的新解法是由美国奥数队总教练罗博深教授提出的。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。