连通拓扑群 G的子群 可由任一邻域U 生成。
取 U 的非空开子集V：
生成子群在理论研究与实际应用中都具有重要意义，具体如下：
理论研究：简化对群结构的研究：群可能包含大量元素，直接研究难度大。而生成子群可通过少量生成元及其运算来描述群的结构。比如循环群，仅需一个生成元就能生成整个群，极大简化了对群的理解与分析。像整数加群({Z}, +)是循环群，1是它的生成元，所有整数都能通过1的整数次加法运算得到 。揭示群的性质：通过分析生成子群的性质，能推断整个群的性质。例如，若生成子群是交换群，可推测原群在一定程度上具有交换性；若生成子群是有限群，也能为研究原群的有限性提供线索。构建子群体系：生成子群是构造子群的基本方法，有助于发现群中不同层次和类型的子群，构建子群体系。在魔方群中，通过不同面的旋转操作（基本元素）生成不同子群，从而深入研究魔方的各种状态转换和还原方法 。研究群的分类：对生成子群的研究，能为基于同构关系对群进行分类提供帮助。有限生成群是一类重要的群，通过研究生成元的数量、关系等，可以对不同的有限生成群进行分类和比较 。实际应用：密码学领域：许多密码体制的安全性依赖于特定群和生成子群的数学性质。例如基于离散对数问题的密码体制，利用有限域乘法群及其子群，设计密钥交换和加密算法，保障信息安全。编码理论方面：有限生成交换群在编码理论中有重要应用，可用于设计和分析编码方案，提升编码的纠错和检错能力，提高信息传输的准确性和可靠性。物理学研究中：在晶体结构分析里，晶体的对称性用空间群描述，生成子群能帮助科学家深入剖析晶体微观结构和物理性质，为新材料研发提供理论支持 。
