阿贝尔群（Abelian group），又称交换群，其元素具有以下特点：
满足交换律：对于阿贝尔群G中的任意两个元素a和b，都有a + b = b + a（这里的 “+” 表示群中的运算，不一定是普通的加法）。这是阿贝尔群最显著的特征，它使得群中元素的运算顺序不影响结果。例如，在整数加法群({Z}, +)中，对于任意整数m和n，都有m + n = n + m。存在单位元：阿贝尔群中存在一个特殊的元素e（称为单位元），对于群中的任意元素a，都有a + e = e + a =a。例如，在整数加法群中，单位元是0，因为对于任意整数n，n + 0 = 0 + n = n。每个元素都有逆元：对于阿贝尔群中的每一个元素a，都存在另一个元素b（称为a的逆元），使得a + b = b + a = e。例如，在整数加法群中，元素n的逆元是-n，因为n + (-n) = (-n) + n = 0。运算满足结合律：对于阿贝尔群中的任意三个元素a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)。结合律保证了多个元素进行运算时，无论怎样分组，结果都是相同的。例如，在整数加法群中，(m + n) + p = m + (n + p)对于任意整数m、n和p都成立。
阿贝尔群为正规子群的研究提供了一个特殊且重要的情形，而正规子群又是研究阿贝尔群结构和性质的重要工具。
